Теория Морса

Тео́рия Мо́рса — общее название теорий, основывающихся на идеях Морса и описывающих связь алгебро-топологических свойств топологического пространства с критическими точками гладкой функции (функционалов) на нём.

Теория Морса является разделом вариационного исчисления в целом; однако последнее шире: например, оно включает в себя теорию категорий в смысле Люстерника — Шнирельмана.

Основные результаты

• Лемма Морса

• Если множество $f^{-1}([a,b])$ компактно, не пересекается с краем многообразия $M$ и содержит ровно одну критическую точку, имеющую индекс Морса $k$, то $f^{-1}(b)$ диффеоморфно многообразию, полученному из $f^{-1}(a)$ приклеиванием ручки индекса k, см. хирургия.

• Каждой функции Морса $f$ на гладком многообразии $M$ (без края) отвечает гомотопически эквивалентное многообразию $M$ клеточное пространство, клетки которого находятся в биективном соответствии с критическими точками функции $f$, причем размерность клетки равна индексу соответствующей критической точки. Важные следствия этого представления:
  • Неравенства Морса.
  • Инструмент для изучения топологии многообразий. Причем важны не только индексы, но и количество критических точек. Предположим, на замкнутом многообразии задана функция Морса $f:M\to R$, имеющая в точности $m$ критических точек (индексы которых неизвестны), — как это влияет на топологию многообразия?
    • Случай $m=1$ невозможен согласно неравенствам Морса.
    • Случай $m=2$: Теорема Риба о сфере утверждает, что $M$ гомеоморфно (но, вообще говоря, не диффеоморфно) сфере $S^n$.
    • Случай $m=3$ возможен только в некоторых малых размерностях, при этом $M$ гомеоморфно многообразию Илса — Кейпера.

Литература

• Милнор, Дж., Теория Морса 1965, 184 с.