Многочлены Лежандра

Многочлен Лежа́ндра — многочлен, который в наименьшей степени отклоняется от нуля в смысле среднего квадратического. Образует ортогональную систему многочленов, на отрезке $[-1,\;1]$ по мере Лебега. Многочлены Лежандра могут быть получены из многочленов $1,\;x,\;x^2,\;x^3,\;\ldots$ ортогонализацией Грама ― Шмидта.

Названы по имени французского математика Адриен Мари Лежандра.

Определение

Полиномы Лежандра и присоединённые функции Лежандра первого и второго рода

Рассмотрим дифференциальное уравнение вида

$(1-z^2) \frac{\mathrm d^2u}{\mathrm dz^2}-2z\frac{\mathrm du}{\mathrm dz} + n(n+1)u = 0,$

(УравнПолЛеж)

где $~z$ — комплексная переменная. Решения этого уравнения при целых $~n$ имеют вид многочленов, называемых многочленами Лежандра. Полином Лежандра степени $~n$ можно представить через формулу Родрига в виде^[1]

$P_n(z)=\frac{1}{2^n n!}\frac{d^n}{dz^n}(z^2-1)^n$

Часто вместо $~z$ записывают косинус полярного угла:

$P_n(\cos\theta)=\frac{1}{2^n n!}\frac{d^n}{d(\cos\theta)^n}(\cos^2\theta-1)^n$

Уравнение (УравнПолЛеж) можно получить из частного случая гипергеометрического уравнения, называемого уравнением Лежандра

$(1-z^2) \frac{\mathrm d^2u}{\mathrm dz^2}-2z\frac{\mathrm du}{\mathrm dz} + \left[ \nu(\nu+1) - \frac{\mu^2}{1-z^2}\right]u = 0,$

(УравнЛеж)

где $~\mu$, $~\nu$ — произвольные комплексные постоянные. Интерес представляют его решения, являющиеся однозначными и регулярными при $~|z| < 1$ (в частности, при действительных $~z$) или когда действительная часть числа $~z$ больше единицы. Его решения называют присоединёнными функциями Лежандра или шаровыми функциями. Подстановка вида $w = (z^2-1)^{\mu/2}$ в (УравнЛеж) даёт уравнение Гаусса, решение которого в области $|1 - z| < 2$ принимает вид

$w = P_\nu^\mu(z)=\frac{1}{\Gamma(1-\mu)} \left( \frac{z+1}{z-1} \right)^{\mu/2} F\left(-\nu,\nu+1; 1-\mu; \frac{1}{2} - \frac{z}{2} \right),$

где F — гипергеометрическая функция. Подстановка $w = z^2$ в (УравнЛеж) приводит к решению вида

$w = Q_\nu^\mu(z)= e^{\mu i \pi} 2^{-\nu-1}\sqrt{\pi} \frac{\Gamma(\nu+\mu+1)}{\Gamma(\nu+3/2)} z^{-\nu-\mu-1}(z^2-1)^{\mu/2} F\left(\frac{\nu}{2}+\frac{\mu}{2}+1,\frac{\nu}{2}+\frac{\mu}{2}+\frac{1}{2}; \nu+\frac{3}{2}; z^{-2} \right),$

определённым на $|z|>1$. Функции $P_\nu^\mu(z)$ и $Q_\nu^\mu(z)$ называют функциями Лежандра первого и второго рода.^[2]

Справедливы соотношения^[3]

$P_\nu^\mu(z) = P_{-\nu-1}^\mu(z)$

и

$Q_\nu^\mu(z) \sin\pi(\nu+\mu) - Q_{-\nu-1}^\mu(z) \sin\pi(\nu-\mu) = \pi e^{i\mu\pi}\cos(\nu\pi)P_\nu^\mu(z).$

Формулы с $\Sigma$

• Многочлены Лежандра также определяются по следующим формулам:

$P_n(x)=\frac{1}{2^n}\sum_{k=0}^{E(n/2)}(-1)^k\binom{n}{k}\binom{2n-2k}{n}x^{n-2k};$

$P_n(x)=\frac{1}{2^n}\sum_{k=0}^n\binom{n}{k}^2(x-1)^{n-k}(x+1)^{k};$

$P_n(x)=\frac{(x+1)^n}{2^n}\sum_{k=0}^n(-1)^k\binom{n}{k}^2\left(\frac{x-1}{x+1}\right)^k$, если $x\neq -1$;

$P_n(x)=\frac{(x-1)^n}{2^n}\sum_{k=0}^n(-1)^k\binom{n}{k}^2\left(\frac{x+1}{x-1}\right)^k$, если $x\neq 1$.

Рекуррентная формула

• Они также могут быть вычислены по рекуррентной формуле:

$P_{n+1}(x)=\frac{2n+1}{n+1}xP_n(x)-\frac{n}{n+1}P_{n-1}(x).$

Формулы с разложениями

• Многочлены Лежандра также определяются следующими разложениями:

для $|t| < min |x\,$ ± $\sqrt{x^2-1}|$:

$(1-2tx+t^2)^{- \frac{1}{2}}=\sum_{n=1}^\infty P_n(x)t^n,$

и для $|t| > max |x\,$ ± $\sqrt{x^2-1}|$:

$(1-2tx+t^2)^{- \frac{1}{2}}=\sum_{n=1}^\infty P_n(x)\frac{1}{t^{n+1}}.$

Следовательно, $P_n(x)=\frac{(2n)!}{2^n(n!)^2} [x^n-\frac{n(n-1)}{2(2n-1)}x^{n-2}+\frac{n(n-1)(n-2)(n-3)}{2\cdot4(2n-1)(2n-3)}x^{n-4}-...].$

Присоединённые многочлены Лежандра

• Присоединённые многочлены Лежандра определяются по формуле:

$P^m_n(x)=(1-x^2)^{m/2}\frac{d^m}{dx^m}P_n(x),$

которую также можно представить в виде:

$P^m_n(\cos\theta)=\sin^m\theta\frac{d^m}{d(\cos\theta)^m} P_n(\cos\theta).$

При $m = 0$ функция $P^m_n$ совпадает с $~P_n$.

Матрица функции многочлена Лежандра

$\begin{pmatrix} 0 & 0 & -2 & 0 & 0 & \vdots & 0 & \vdots & 0 \\ 0 & 2 & 0 & -6 & 0 & \vdots & 0 & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & 6 & 0 & -12 &\vdots & 0 & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & 12 & 0 & \vdots & 0 & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 20 & \vdots & 0 & \vdots & \vdots \\ \dots & \dots & \dots & \dots & \dots & \ddots & \vdots & \dots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 &\dots & k(k+1) &\dots & \vdots \\ \dots & \dots & \dots & \dots & \dots &\dots & \dots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \dots & 0 & \dots & n(n+1) \\ \end{pmatrix}$

Эта матрица является верхнетреугольной. Её определитель равен нулю, а собственные значения равны $k(k+1)$, где $k\in\{0,\;1,\;2,\;3,\;\ldots,\;n\}$.

Примеры

Первые 6 многочленов Лежандра.

Первые многочлены Лежандра равны:

• $P_0(x)=1;\,$
• $P_1(x)=x;\,$
• $P_2(x)=\frac{1}{2}(3x^2-1);$
• $P_3(x)=\frac{1}{2}(5x^3-3x);$
• $P_4(x)=\frac{1}{8}(35x^4-30x^2+3);$
• $P_5(x)=\frac{1}{8}(63x^5-70x^3+15x);$
• $P_6(x)=\frac{1}{16}(231x^6-315x^4+105x^2-5);$
• $P_7(x)=\frac{1}{16}(429x^7-693x^5+315x^3-35x);$
• $P_8(x)=\frac{1}{128}(6435x^8-12012x^6+6930x^4-1260x^2+35);$
• $P_9(x)=\frac{1}{128}(12155x^9-25740x^7+18018x^5-4620x^3+315x);$
• $P_{10}(x)=\frac{1}{256}(46189x^{10}-109395x^8+90090x^6-30030x^4+3465x^2-63).$

Поскольку $~P_n(1)=1$, то

$P_n(x)=\frac{1}{\lambda_0+\lambda_1+\ldots+\lambda_n}(\lambda_0+\lambda_1x+\lambda_2x^2+\ldots+\lambda_nx^n)=\frac{\sum\limits_{i=0}^n \lambda_i x^i}{\sum\limits_{i=0}^n \lambda_i}.$

Свойства

• $\forall x\in[-1,\;1],\;|P_n(x)|\leqslant 1.$
• Для $n\neq 0$, степень $P_n$ равна n.
• Сумма коэффициентов многочлена Лежандра $P_n(x)\,$ равна 1.
• Уравнение $P_n(x)=0 \,$ имеет ровно $n$ различных корней на отрезке $[-1,\;1].$
• Пусть $\forall n\in\N,\;U_n(x)=(x^2-1)^n$. Тогда:

• $U'_{n+1}(x)-2(n+1)xU_n(x)=0;\,$
• $(x^2-1)U'_n(x)-2nxU_n(x)=0.\,$

• Присоединённые многочлены Лежандра являются решениями дифференциального уравнения

$\frac{d}{dx}\left[(1-x^2)\frac{d}{dx}P_n(x)\right]-\frac{m^2}{(1-x^2)}P_n(x)+n(n+1)P_n(x)=0.$

Что также можно записать как:

$P'_{n+1}(x)=xP'_n(x)+(n+1)P_n(x).\,$

• Производящая функция для многочленов Лежандра равна:

$\sum_{n=0}^\infty P_n(z)x^n=\frac{1}{\sqrt{1-2xz+x^2}}.$

• Условие ортогональности этих полиномов на отрезке $[-1,\;1]$:

$\int\limits_{-1}^1 P_k(x)P_l(x)\,dx=\frac{2}{2k+1}\delta_{kl},$

где $\delta_{kl}$ — символ Кронекера.

• Для $n\in\N$, норма $P_n$ равна:

$||P_n||=\sqrt{\int\limits_{-1}^1 P_n^2(x)\,dx}=\sqrt{\frac{2}{2n+1}}.$

• Нормированная функция многочленов Лежандра связана с нормой $P_n$ следующим соотношением:

$\tilde P_n(x)=\frac{P_n(x)}{||P_n||}=\sqrt{\frac{2n+1}{2}}P_n(x).$

• При каждом $m>0$ система присоединённых функций Лежандра $P^m_n(x),\;n=m,\;m+1,\;\ldots$ полна в $L_2(-1,\;1)$.
• В зависимости от $m$ и $n$ присоединённые многочлены Лежандра могут быть как чётными, так и нечётными функциями:

$P^m_n(-x)=(-1)^{m+n}P^m_n(x).$

• $P_{2n}\,$ — четная функция;
• $P_{2n+1}\,$ — нечетная функция.

• $P_n(1)=1.\,$
• $P_n(-1)=(-1)^n.\,$
• $P_{2n}(0)=\frac{1}{2^{2n}}\sum_{k=0}^n(-1)^k\binom{2n}{k}\binom{4n-2k}{2n}0^{2n-2k}=\frac{1}{2^{2n}}(-1)^n\binom{2n}{n}$, поскольку $\forall k\neq n$ $0^{2n-2k}=0$, а $0^{2n-2n}=1$.
• Для $n\neq 0$, $P_{2n}(0)\leqslant\frac{1}{\sqrt{\pi n}}$.
• $\forall x\in]-1,\;1[,\;\forall n\in\N^*,\;|P_n(x)|\leqslant\sqrt{\frac{2}{\pi n(1-x^2)}}.$

Ряды многочленов Лежандра

См. также: Сумма ряда

Разложение липшицевой функции в ряд многочленов Лежандра

Липшицевая функция $f$ является функцией со свойством:

$|f(x)-f(y)|\leqslant L|x-y|$, где $L>0$.

Эта функция разлагается в ряд многочленов Лежандра.

Пусть $\varepsilon(I)$ — пространство непрерывных отображений на отрезке $I=[-1,\;1]$, $f\in\varepsilon(I)$ и $n\in\N$.

Пусть

$c_n(f)=\int\limits_{-1}^1 f(x)\tilde P_n(x)\,dx,$

тогда $c_n(f)\,$ удовлетворяет следующему условию:

$\lim_{n\to\infty} c_n(f)=0.$

Пусть $S_nf=\sum_{k=0}^n c_k(f)\tilde P_k$ и $S_nf\,$ удовлетворяет следующим условиям:

1. $\forall x\in I,\;S_nf(x)=\int\limits_{-1}^1 K_n(x,\;y)f(y)\,dy$, где $K_n(x,\;y)=\frac{n+1}{2}\frac{P_{n+1}(x)P_n(y)-P_{n+1}(y)P_n(x)}{x-y} ;$
2. $S_nf(x)-f(x)=\int\limits_{-1}^1 K_n(x,\;y)(f(y)-f(x))\,dy ;$
3. $\forall x\in[-1,1],\;\lim_{n\to\infty}S_nf(x)=f(x).$

Липшецевую функцию $f$ можно записать следующим образом:

$f=\sum_{n=0}^\infty c_n(f)\tilde P_n.$

Разложение голоморфной функции

Всякая функция f, голоморфная внутри эллипса с фокусами −1 и +1, может быть представлена в виде ряда:

$f(x)=\sum_{n=0}^\infty \lambda_n P_n(x)$

Теорема сложения

Для величин, удовлетворяющих условиям $0\le \psi_1 < \pi$, $0\le \psi_2 < \pi$, $\psi_1 + \psi_2 < \pi$, $\phi$ — действительное число, можно записать теорему сложения для полиномов Лежандра первого рода:^[4]

$P_k (\cos\psi_1\cos\psi_2 + \sin\psi_1\sin\psi_2\cos\phi) = P_k(\cos\psi_1)P_k(\cos\psi_2) + 2\sum\limits_{m=1}^\infty (-1)^m P_k^{-m}(\cos\psi_1)P_k^m(\cos\psi_2)\cos m\phi,$

или, в альтернативной форме через гамма-функцию:

$P_k (\cos\psi_1\cos\psi_2 + \sin\psi_1\sin\psi_2\cos\phi) = P_k(\cos\psi_1)P_k(\cos\psi_2) + 2\sum\limits_{m=1}^\infty \frac{\Gamma(k-m+1)}{\Gamma(k+m+1)} P_k^m(\cos\psi_1)P_k^m(\cos\psi_2)\cos m\phi.$

Для полиномов Лежандра второго рода теорема сложения выглядит как^[5]

$Q_k (\cos\psi_1\cos\psi_2 + \sin\psi_1\sin\psi_2\cos\phi) = P_k(\cos\psi_1)Q_k(\cos\psi_2) + 2\sum\limits_{m=1}^\infty (-1)^m P_k^{-m}(\cos\psi_1)Q_k^m(\cos\psi_2)\cos m\phi$

при условиях $0\le \psi_1 < \pi/2$, $0\le \psi_2 < \pi$, $\psi_1 + \psi_2 < \pi$, $\phi$

Функции Лежандра

Основная статья: Сферические функции

Многочлены Лежандра (вместе с присоединёнными функциями Лежандра $P_{n,\;m}(x)$) естественно возникают в теории потенциала.

Шаровые функции — это функции (в сферических координатах $r,\;\theta,\;\varphi$) вида (с точностью до константы)

$r^nP^m_n(\cos\theta)\cos m\varphi$ и $r^nP^m_n(\cos\theta)\sin m\varphi,$

где $P^m_n$ — присоединённые многочлены Лежандра;

а точнее вида $r^nY_{n m}$ , где $Y_{n m}$ — сферические функции.

Шаровые функции удовлетворяют уравнению Лапласа всюду в $\R^3$ .

Примечания

1. ↑ Градштейн, Рыжик, 1963, с. 1039
2. ↑ Бейтмен, Эрдейи, Т. 1, 1973, с. 126—127
3. ↑ Бейтмен, Эрдейи, Т. 1, 1973, с. 140
4. ↑ Градштейн, Рыжик, 1963, с. 1027
5. ↑ Градштейн, Рыжик, 1963, с. 1028

Литература

• Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции = Higher Transcendental Functions / Пер. Н. Я. Виленкина. — Изд. 2-е,. — М.: Наука, 1973. — Т. 1. — 296 с. — 14 000 экз.
• Владимиров В. С., Жаринов В. В. Уравнения математической физики. — М.: Физматлит, 2004. — ISBN 5-9221-0310-5
• Градштейн И. С., Рыжик И. М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. — Изд. 4-е, перераб. — М.: Государственное издательство физико-математической литературы, 1963. — 19 000 экз.
• Кампе де Ферье Ж., Кемпбелл Р., Петьо Г., Фогель Т. Функции математической физики. — М.: Физматлит, 1963.
• Никольский С. М. Квадратурные формулы. — М.: Наука, 1988.