Метод конечных разностей во временной области

Метод конечных разностей во временно́й области (англ. Finite Difference Time Domain, FDTD) — один из наиболее популярных методов численной электродинамики, основанный на дискретизации уравнений Максвелла, записанных в дифференциальной форме.

Описание

FDTD относится к общему классу сеточных методов решения дифференциальных уравнений. Базовый алгоритм метода был впервые предложен Кейном Йи (Калифорнийский университет) в 1966 г. в статье «Numerical solution of initial boundary value problems involving maxwell’s equations in isotropic media» журнала «IEEE Transactions: Antennas and Propagation»^[1]. Однако, название «Finite-difference time-domain» и аббревиатура FDTD были даны методу Алленом Тафловом (Северо-западный университет, штат Иллинойс).

В первоначальном узком смысле под FDTD подразумевалось использование базового алгоритма Йи для численного решения уравнений Максвелла. В современном более широком смысле FDTD включает в себя множество самых разнообразных возможностей: моделирование сред с дисперсными и нелинейными свойствами, применение различных типов сеток (помимо первично предложенной прямоугольной сетки Йи), использование методов постпроцессорной обработки результатов и т. д.

Примерно с 1990 г. метод конечных разностей стал основным для моделирования самых разных оптических приложений. Он может быть с успехом применен для решения широкого спектра задач: от моделирования сверхдлинных электромагнитных волн в геофизике (включая процессы в ионосфере) и микроволн (например для изучения сигнатурной радиолокации, расчёта характеристик антенн, разработки беспроводных устройств связи, в том числе цифровых) до решения задач в оптическом диапазоне (фотонные кристаллы, наноплазмоника, солитоны и биофотоника). К 2006 г. число публикаций, посвященных FDTD, достигло двух тысяч.

В настоящее время существует порядка 30 коммерческих программ FDTD, а также проекты с открытым исходным кодом (в числе которых несколько русских).

Алгоритм Йи

В уравнениях Максвелла изменение электрического поля E (частная производная) зависит от распределения в пространстве магнитного поля H (ротор). Аналогично, изменение поля H зависит от распределения в пространстве поля Е.

На этом наблюдении основан алгоритм Йи. Сетки для полей E и H смещены по отношению друг к другу на половину шага дискретизации времени и по каждой из пространственных переменных. Конечно-разностные уравнения позволяют определить поля E и H на данном временном шаге на основании известных значений полей на предыдущем.

При заданных начальных условиях алгоритм Йи дает эволюционное решение во времени от начала отсчета с заданным временным шагом.

Поля в ячейке сетки FDTD. Из таких ячеек составляется пространственная трёхмерная сетка Йи

Аналогичная (разделённая) сетка используется при решении задач гидродинамики (для давления и поля скорости).

Как и в любом другом разностном методе, в FDTD существует проблема неточного отображения границы тела на вычислительную сетку. Любая кривая поверхность, разделяющая соседние среды и геометрически не согласованная с сеткой, будет искажаться эффектом «лестничного приближения». Для решения данной проблемы можно использовать дополнительную сетку с большим разрешением в тех областях пространства, где расположены тела со сложной геометрической структурой^[2]. Также можно видоизменять разностные уравнения в узлах сетки, находящихся вблизи границы между соседними телами^[3]. Менее затратным методом является введение эффективной диэлектрической проницаемости вблизи границы между телами (subpixel smoothing) ^[4][5].

Численная схема FDTD не предполагает возможности табличного задания зависимости диэлектрической проницаемости от частоты. Однако, ее можно представить в виде апроксимации (фитинга) членами Дебая, Друде, Лоренца или Лоренца с поглощением. Такая аппроксимация не обязательно имеет физический смысл, и может быть получена численно, например с помощью программы ^[6].

Поглощающие граничные условия

Для того, чтобы ограничить объем сетки, в FDTD нужны особые поглощающие граничные условия, которые моделируют уход электромагнитной волны на бесконечность. Для этого использоваются поглощающие граничные условия Мура или Ляо^[7], или идеально согласованных слои (Perfect Matched Layers, PML). Условия Мура или Ляо намного проще, чем PML. Тем не менее, PML — строго говоря, являющихся поглощающей приграничной областью, а не граничным условием как таковым — позволяет получить на порядки меньшие по величине коэффициенты отражения от границы.

Понятие идеально согласованных слоев (PML) было введено Жаном Пьером Беренже в статье журнала «The Journal of Computational Physics» в 1994 г.^[8] Идея PML Беренже основывалась на разбиении исходных полей E и H на две компоненты, для каждой из которых должны решаться свои уравнения. Впоследствии были предложены усовершенствованные формулировки PML эквивалентные первоначальной формулировке Беренгера. Так, в одноосном PML (Uniaxial PML) используется анизотропный поглощающий материал, что позволяет не вводить дополнительные переменные и остаться в рамках исходных уравнений Максвелла^[9]. Однако одноосный PML, как и PML в формулировке Беренже, не удобны тем, что в них отсутствует поглощение затухающих волн, что не позволяет помещать PML близко к рассеивающим телам. Этого недостатка лишен оборотный PML (Convolutional PML), основанный на аналитическом продолжении уравнений Максвелла в комплексную плоскость таким образом, что их решение экспоненциально затухает^[10]. CPML также удобнее в ограничении бесконечных проводящих и дисперсных сред. Помимо этого математическая формулировка CPML обладает большей наглядностью и доступностью для понимания.

В некоторых случаях использование PML приводит к расходимости расчета FDTD. Эту проблему можно устранить путем помещения за PML дополнительной поглощающей стенки^[11].

Численный эксперимент FDTD

Ход численного эксперимента FDTD выглядит следующим образом:

• Задается счетная область, разрешение сетки и граничные условия. Граничные условия могут быть поглощающими или периодическими. Последние применяются для моделирования нормального падения плоской волны на периодическую структуру. Схема FDTD для моделирования наклонного падения требует периодических условий со сдвигом по времени, которые могут быть реализованы с помощью разных методов ^[12][13][14].

• Внутри счетной области помещаются материальные тела с заданными оптическими свойствами (диэлектрическая проницаемость и магнитная проводимость).

• Задается источник. Самый простой способ задания источника заключается в задании временной зависимости плотности тока J в уравнении Ампера. Такой тип источника обычно используется при моделировании диполей. Для генерации плоской волны более удобен другой тип источника, реализуемый с помощью метода полного и рассеянного поля (Total Field / Scattered Field).

• Источник генерирует конечную во времени электромагнитную волну, спектральный состав которой должен покрывать интересующий диапазон частот. Далее, волна падает на тела, перерассеивается на них, и, при наличии поглощающих граничных условий, через какое-то время уходит из счетной области. История распространения волны сохраняется.

• С помощью преобразования Фурье записанные значения полей переводятся в частотное представление. Далее, обрабатывая их (например, интегрируя поток энергии поля через какую-либо поверхность), можно получить оптические характеристики рассматриваемой структуры тел. Используя метод преобразования ближнего поля в дальнее (Neat to Far Transformation), можно получить значения полей за пределами счетной области на основнии эволюции поля внутри счетной области^[15].

Достоинства и недостатки FDTD

Как и любой другой численный метод, FDTD свои достоинства и недостатки.

Достоинства:

• FDTD — это простой и интуитивно понятный метод.

• Поскольку FDTD работает во временной области, он позволяет получить результат для широкого спектра длин волн за один расчет. Это может полезно при решении задач, в которых не известны резонансные частоты или в случае моделирования широкополосных сигналов.

• FDTD позволяет создавать анимированные изображения распространения волны в счетном объеме.

• FDTD удобен при задании анизотропных, дисперсных и нелинейных сред.

• Метод позволяет непосредственно моделировать эффекты на отверстиях, так же как эффекты экранирования, причем поля внутри и вне экрана могут быть рассчитаны как напрямую, так и нет.

Недостатки:

• Величина шага дискретизации по пространству должна быть мала по сравнению со спектром исследуемых длин волн и характерным размером исследуемой структуры. В некоторых случаях (инверсные опалы с маленькими перегородками между шариками) это может потребовать сеток с большим разрешением, что означает большие затраты памяти и большое время расчета.

• FDTD рассчитывает поля внутри счетной области. Если требуется найти поле на большом расстоянии от источника, это требует увеличения счетной области и времени расчета. Существуют расширения метода для нахождения дальних полей, но они требуют постобработки.

См. также

• Уравнения Максвелла
• Электродинамика
• Разностная схема
• Численные методы

Источники

1. ↑ Kane Yee (1966). «Numerical solution of initial boundary value problems involving Maxwell's equations in isotropic media». IEEE Transactions on Antennas and Propagation 14 (3): 302–307.
2. ↑ S. S. Zivanovic, K. S. Yee, and K. K. Mei (1991). «A subgridding method for the Time Domain Finite-Difference Method to solve Maxwell's equations». IEEE Trans. Microware Theory Tech. 38: 471.
3. ↑ T. G. Jurgens, A. Taflove, K. Umashankar, and T. G. Moore (1992). «Finite-difference time-domain modeling of curved surfaces». IEEE Trans. Antennas Propag. 40: 357.
4. ↑ J. Nadobny, D. Sullivan, W. Wlodarczyk, P. Deuflhard, and P. Wust (2003). «A 3-D tensor FDTD-formulation for treatment of sloped interfaces in electrically inhomogeneous media». IEEE Trans. Antennas Propag. 51: 1760.
5. ↑ A. Deinega and I. Valuev (2007). «Subpixel smoothing for conductive and dispersive media in the FDTD method». Opt. Lett. 32: 3429.
6. ↑ Фитинг диэлектрической проницаемости. Архивировано из первоисточника 9 июня 2012.
7. ↑ G. Mur (1981). «Absorbing boundary conditions for the finite-difference approximation of the time-domain electromagnetic field equations». IEEE Transactions on Electromagnetic Compatibility 23 (4): 377–382.
8. ↑ J. Berenger (1994). «A perfectly matched layer for the absorption of electromagnetic waves». Journal of Computational Physics 114 (2): 185–200.
9. ↑ S. D. Gedney (1996). «An anisotropic perfectly matched layer absorbing media for the truncation of FDTD lattices». IEEE Transactions on Antennas and Propagation 44 (12): 1630–1639.
10. ↑ J. A. Roden and S. D. Gedney (2000). «Convolution PML (CPML): An efficient FDTD implementation of the CFS-PML for arbitrary media». Microwave and Optical Technology Letters 27 (5): 334–339.
11. ↑ A. Deinega and I. Valuev (2011). «Long-time behavior of PML absorbing boundaries for layered periodic structures». Comp. Phys. Comm. 182: 149.
12. ↑ I. Valuev, A. Deinega, and S. Belousov (2008). «Iterative technique for analysis of periodic structures at oblique incidence in the finite-difference time-domain method». Opt. Lett. 33: 1491.
13. ↑ A. Aminian and Y. Rahmat-Samii (2006). «Spectral FDTD: a novel technique for the analysis of oblique incident plane wave on periodic structures». IEEE Trans. Antennas and Propagation 54: 1818.
14. ↑ J. A. Roden, S. D. Gedney, M. P. Kesler, J. G. Maloney, and P. H. Harms (1998). «Time-domain analysis of periodic structures at oblique incidence: orthogonal and nonorthogonal FDTD implementations». Microwave Theory and Techniques 46: 420.
15. ↑ K. R. Umashankar and A. Taflove (1982). «A novel method to analyze electromagnetic scattering of complex objects». IEEE Transactions on Electromagnetic Compatibility 24 (4): 397–405.

Ссылки

На русском

• EMTL (Electromagnetic Template Library) (Бесплатная библиотека С++ для численных расчетов методом FDTD. Примеры расчетов, описание метода FDTD и самой библиотеки на русском языке.)
• FDTDpro от Александра Зеленина (Программа расчета электромагнитных полей методом FDTD. Описание работы с программой и хорошее подробное описание метода FDTD на русском языке.)
• ЖУРНАЛ РАДИОЭЛЕКТРОНИКИ №5, 2006г. (Численное моделирование двумерных фотонных кристаллов. Статья.)

На английском

Этот раздел не завершён. Вы поможете проекту, исправив и дополнив его следующей информацией: ссылками на источники на английском языке.

Литература

Методу FDTD посвящено множество публикаций, однако основная их масса на английском языке. Ниже приведены ссылки на некоторые из них:

Пионерские работы

• Kane Yee (1966). «Numerical solution of initial boundary value problems involving Maxwell's equations in isotropic media». Antennas and Propagation, IEEE Transactions on 14: 302–307. DOI:10.1109/TAP.1966.1138693.
• A. Taflove and M. E. Brodwin (1975). «Numerical solution of steady-state electromagnetic scattering problems using the time-dependent Maxwell's equations». Microwave Theory and Techniques, IEEE Transactions on 23: 623–630. DOI:10.1109/TMTT.1975.1128640.
• A. Taflove and M. E. Brodwin (1975). «Computation of the electromagnetic fields and induced temperatures within a model of the microwave-irradiated human eye». Microwave Theory and Techniques, IEEE Transactions on 23: 888–896. DOI:10.1109/TMTT.1975.1128708.
• R. Holland (1977). «Threde: A free-field EMP coupling and scattering code». Nuclear Science, IEEE Transactions on 24: 2416–2421. DOI:10.1109/TNS.1977.4329229.
• K. S. Kunz and K. M. Lee (1978). «A three-dimensional finite-difference solution of the external response of an aircraft to a complex transient EM environment». Electromagnetic Compatibility, IEEE Transactions on 20: 328–341. DOI:10.1109/TEMC.1978.303727.
• A. Taflove (1980). «Application of the finite-difference time-domain method to sinusoidal steady state electromagnetic penetration problems». Electromagnetic Compatibility, IEEE Transactions on 22: 191–202. DOI:10.1109/TEMC.1980.303879.
• K. R. Umashankar and A. Taflove (1982). «A novel method to analyze electromagnetic scattering of complex objects». Electromagnetic Compatibility, IEEE Transactions on 24: 397–405. DOI:10.1109/TEMC.1982.304054.
• A. Taflove and K. R. Umashankar (1983). «Radar cross section of general three-dimensional scatterers». Electromagnetic Compatibility, IEEE Transactions on 25: 433–440. DOI:10.1109/TEMC.1983.304133.
• D. H. Choi and W. J. Hoefer (1986). «The finite-difference time-domain method and its application to eigenvalue problems». Microwave Theory and Techniques, IEEE Transactions on 34: 1464–1470.

Граничные условия

• G. Mur (1981). «Absorbing boundary conditions for the finite-difference approximation of the time-domain electromagnetic field equations» (abstract). Electromagnetic Compatibility, IEEE Transactions on 23: 377–382. DOI:10.1109/TEMC.1981.303970.
• Z. P. Liao, H. L. Wong, B. P. Yang, and Y. F. Yuan (1984). «A transmitting boundary for transient wave analysis». Scientia Sinica a 27: 1063–1076.
• J. Berenger (1994). «A perfectly matched layer for the absorption of electromagnetic waves». Journal of Computational Physics 114: 185–200. DOI:10.1006/jcph.1994.1159.
• D. S. Katz, E. T. Thiele, and A. Taflove (1994). «Validation and extension to three dimensions of the Berenger PML absorbing boundary condition for FDTD meshes». Microwave and Guided Wave Letters, IEEE 4: 268–270.
• C. E. Reuter, R. M. Joseph, E. T. Thiele, D. S. Katz, and A. Taflove (1994). «Ultrawideband absorbing boundary condition for termination of waveguiding structures in FDTD simulations». Microwave and Guided Wave Letters, IEEE 4: 344–346.
• Z. S. Sacks, D. M. Kingsland, R. Lee, and J. F. Lee (1995). «A perfectly matched anisotropic absorber for use as an absorbing boundary condition». Antennas and Propagation, IEEE Transactions on 43: 1460–1463. DOI:10.1109/8.477075.
• S. D. Gedney (1995). «An anisotropic perfectly matched layer absorbing media for the truncation of FDTD lattices». Antennas and Propagation, IEEE Transactions on 44: 1630–1639. DOI:10.1109/8.546249.
• O. M. Ramahi (1997). «The complementary operators method in FDTD simulations». Antennas and Propagation Magazine, IEEE 39: 33–45. DOI:10.1109/74.646801.
• J. A. Roden and S. D. Gedney (2000). «Convolution PML (CPML): An efficient FDTD implementation of the CFS-PML for arbitrary media». Microwave and Optical Technology Letters 27: 334–339. DOI:10.1002/1098-2760(20001205)27:5<334::AID-MOP14>3.0.CO;2-A.

Проблемы геометрии (лестничная аппроксимация, разномасштабное моделирование)

• W. Gwarek (1985). «Analysis of an arbitrarily shaped planar circuit — A time-domain approach». Microwave Theory and Techniques, IEEE Transactions on 33: 1067–1072.
• G. A. Kriegsmann, A. Taflove, and K. R. Umashankar (1987). «A new formulation of electromagnetic wave scattering using an on-surface radiation boundary condition approach». Antennas and Propagation, IEEE Transactions on 35: 153–161.
• T. G. Moore, J. G. Blaschak, A. Taflove, and G. A. Kriegsmann (1988). «Theory and application of radiation boundary operators». Antennas and Propagation, IEEE Transactions on 36: 1797–1812.
• K. R. Umashankar, A. Taflove, and B. Beker (1987). «Calculation and experimental validation of induced currents on coupled wires in an arbitrary shaped cavity». Antennas and Propagation, IEEE Transactions on 35: 1248–1257.
• A. Taflove, K. R. Umashankar, B. Beker, F. A. Harfoush, and K. S. Yee (1988). «Detailed FDTD analysis of electromagnetic fields penetrating narrow slots and lapped joints in thick conducting screens». Antennas and Propagation, IEEE Transactions on 36: 247–257.
• T. G. Jurgens, A. Taflove, K. R. Umashankar, and T. G. Moore (1992). «Finite-difference time-domain modeling of curved surfaces». Antennas and Propagation, IEEE Transactions on 40: 357–366.

Сложные материалы (дисперсия, поглощение, нелинейность и т.д.)

• D. M. Sullivan, O. P. Gandhi, and A. Taflove (1988). «Use of the finite-difference time-domain method in calculating EM absorption in man models». Biomedical Engineering, IEEE Transactions on 35: 179–186.
• X. Zhang, J. Fang, K. K. Mei, and Y. Liu (1988). «Calculation of the dispersive characteristics of microstrips by the time-domain finite-difference method». Microwave Theory and Techniques, IEEE Transactions on 36: 263–267. DOI:10.1109/22.3514.
• T. Kashiwa and I. Fukai (1990). «A treatment by FDTD method of dispersive characteristics associated with electronic polarization». Microwave and Optics Technology Letters 3: 203–205.
• R. Luebbers, F. Hunsberger, K. Kunz, R. Standler, and M. Schneider (1990). «A frequency-dependent finite-difference time-domain formulation for dispersive materials». Electromagnetic Compatibility, IEEE Transactions on 32: 222–227. DOI:10.1109/15.57116.
• R. M. Joseph, S. C. Hagness, and A. Taflove (1991). «Direct time integration of Maxwell’s equations in linear dispersive media with absorption for scattering and propagation of femtosecond electromagnetic pulses». Optics Letters 16: 1412–1414.
• P. M. Goorjian and A. Taflove (1992). «Direct time integration of Maxwell’s equations in nonlinear dispersive media for propagation and scattering of femtosecond electromagnetic solitons». Optics Letters 17: 180–182.
• R. W. Ziolkowski and J. B. Judkins (1993). «Full-wave vector Maxwell’s equations modeling of self-focusing of ultra-short optical pulses in a nonlinear Kerr medium exhibiting a finite response time». Optical Society of America B, Journal of 10: 186–198.
• R. M. Joseph, P. M. Goorjian, and A. Taflove (1993). «Direct time integration of Maxwell’s equations in 2-D dielectric waveguides for propagation and scattering of femtosecond electromagnetic solitons». Optics Letters 18: 491–493.
• R. M. Joseph and A. Taflove (1994). «Spatial soliton deflection mechanism indicated by FDTD Maxwell’s equations modeling». Photonics Technology Letters, IEEE 2: 1251–1254.
• B. Toland, B. Houshmand, and T. Itoh (1993). «Modeling of nonlinear active regions with the FDTD method». Microwave and Guided Wave Letters, IEEE 3: 333–335. DOI:10.1109/75.244870.
• A. S. Nagra and R. A. York (1998). «FDTD analysis of wave propagation in nonlinear absorbing and gain media». Antennas and Propagation, IEEE Transactions on 46: 334–340. DOI:10.1109/8.662652.

Прикладные расчёты

• J. G. Maloney, G. S. Smith, and W. R. Scott, Jr. (1990). «Accurate computation of the radiation from simple antennas using the finite-difference time-domain method». Antennas and Propagation, IEEE Transactions on 38: 1059–1065. DOI:10.1109/8.55618.
• D. S. Katz, A. Taflove, M. J. Piket-May, and K. R. Umashankar (1991). «FDTD analysis of electromagnetic wave radiation from systems containing horn antennas». Antennas and Propagation, IEEE Transactions on 39: 1203–1212.
• P. A. Tirkas and C. A. Balanis (1991). «Finite-difference time-domain technique for radiation by horn antennas». Antennas and Propagation Society International Symposium Digest, IEEE 3: 1750–1753. DOI:10.1109/APS.1991.175196.
• E. Sano and T. Shibata (1990). «Fullwave analysis of picosecond photoconductive switches». Quantum Electronics, IEEE Journal of 26: 372–377. DOI:10.1109/3.44970.
• S. M. El-Ghazaly, R. P. Joshi, and R. O. Grondin (1990). «Electromagnetic and transport considerations in subpicosecond photoconductive switch modeling». Microwave Theory and Techniques, IEEE Transactions on 38: 629–637. DOI:10.1109/22.54932.
• M. J. Piket-May, A. Taflove, and J. Baron (1994). «FD-TD modeling of digital signal propagation in 3-D circuits with passive and active loads». Microwave Theory and Techniques, IEEE Transactions on 42: 1514–1523.
• J. G. Maloney and M. P. Kesler (1998). «Analysis of Periodic Structures». Chap. 6 in Advances in Computational Electrodynamics: the Finite-Difference Time-Domain Method, A. Taflove, ed., Artech House, publishers.
• S. C. Hagness, A. Taflove, and J. E. Bridges (1998). «Two-dimensional FDTD analysis of a pulsed microwave confocal system for breast cancer detection: Fixed-focus and antenna-array sensors». Biomedical Engineering, IEEE Transactions on 45: 1470–1479.
• J. J. Simpson, R. P. Heikes, and A. Taflove (2006). «FDTD modeling of a novel ELF radar for major oil deposits using a three-dimensional geodesic grid of the Earth-ionosphere waveguide». Antennas and Propagation, IEEE Transactions on 54: 1734–1741.

Модификации метода (гибридные, безусловно устойчивые и т.д.)

• W. Sui, D. A. Christensen, and C. H. Durney (1992). «Extending the two-dimensional FDTD method to hybrid electromagnetic systems with active and passive lumped elements». Microwave Theory and Techniques, IEEE Transactions on 40: 724–730. DOI:10.1109/22.127522.
• V. A. Thomas, M. E. Jones, M. J. Piket-May, A. Taflove, and E. Harrigan (1994). «The use of SPICE lumped circuits as sub-grid models for FDTD high-speed electronic circuit design». Microwave and Guided Wave Letters, IEEE 4: 141–143.
• Q. H. Liu (1997). «The pseudospectral time-domain (PSTD) method: A new algorithm for solutions of Maxwell’s equations». Antennas and Propagation Society International Symposium Digest, IEEE 1: 122–125. DOI:10.1109/APS.1997.630102.
• J. B. Schneider, and C. L. Wagner (1999). «FDTD dispersion revisited: Faster-than-light propagation». Microwave and Guided Wave Letters, IEEE 9: 54–56. DOI:10.1109/75.755044.
• F. Zhen, Z. Chen, and J. Zhang (2000). «Toward the development of a three-dimensional unconditionally stable finite-difference time-domain method». Microwave Theory and Techniques, IEEE Transactions on 48: 1550–1558. DOI:10.1109/22.869007.
• F. Zheng and Z. Chen (2001). «Numerical dispersion analysis of the unconditionally stable 3-D ADI-FDTD method». Microwave Theory and Techniques, IEEE Transactions on 49: 1006–1009. DOI:10.1109/22.920165.
• T. Rylander and A. Bondeson (2000). «Stable FDTD-FEM hybrid method for Maxwell’s equations». Computer Physics Communications 125: 75–82. DOI:10.1016/S0010-4655(99)00463-4.
• M. Hayakawa and T. Otsuyama (2002). «FDTD analysis of ELF wave propagation in inhomogeneous subionospheric waveguide models». ACES Journal 17: 239–244.
• H. De Raedt, K. Michielsen, J. S. Kole, and M. T. Figge (2003). «Solving the Maxwell equations by the Chebyshev method: A one-step finite difference time-domain algorithm». Antennas and Propagation, IEEE Transactions on 51: 3155–3160. DOI:10.1109/TAP.2003.818809.