Турбулентность

О фильме с таким названием см. Турбулентность (фильм).

Механика сплошных сред

Сплошная среда

Классическая механика Закон сохранения массы · Закон сохранения импульса Теория упругости Напряжение · Тензор · Твёрдые тела · Упругость · Пластичность · Закон Гука · Реология · Вязкоупругость Гидродинамика Жидкость · Гидростатика · Гидродинамика · Вязкость · Ньютоновская жидкость · Неньютоновская жидкость · Поверхностное натяжение Основные уравнения Уравнение непрерывности · Уравнение Эйлера · Уравнения Навье — Стокса · Уравнение диффузии · Закон Гука Известные учёные Ньютон · Гук Бернулли · Эйлер · Коши · Стокс · Навье

См. также: Портал:Физика

Вихревая дорожка при обтекании цилиндра

Ламинарное (на переднем плане) и турбулентное течение вокруг субмарины «Лос-Анджелес»

Течение жидкостей и газа

Ползучее течение

Ламинарное течение

Потенциальное течение

Отрыв течения

Вихрь

Неустойчивость

Турбулентность

Конвекция

Ударная волна

Сверхзвуковое течение

[шаблон]

Турбуле́нтность, устар. турбуле́нция (от лат. turbulentus — бурный, беспорядочный), турбуле́нтное тече́ние — явление, заключающееся в том, что при увеличении скорости течения жидкости или газа в среде самопроизвольно образуются многочисленные нелинейные фрактальные волны и обычные, линейные различных размеров, без наличия внешних, случайных, возмущающих среду сил и/или при их присутствии. Для расчёта подобных течений были созданы различные модели турбулентности. Волны появляются случайно. То есть их размер и амплитуда меняется хаотически в некотором интервале. Они возникают чаще всего либо на границе, у стенки, и/или при разрушении или опрокидывании волны. Они могут образоваться на струях. Экспериментально ее можно наблюдать на конце струи пара из электрочайника. Турбулентность экспериментально открыта английским инженером Рейнольдсом в 1883 году при изучении течения несжимаемой жидкости (воды) в трубах.

Для возникновения турбулентности необходима сплошная среда, которая подчиняется кинетическому уравнению Больцмана^{[источник не указан 200 дней]}, уравнениям Навье — Стокса или пограничного слоя. Система уравнений Навье — Стокса (в неё входит и уравнение сохранения массы или уравнение неразрывности) описывает множество турбулентных течений с достаточной для практики точностью.

Обычно турбулентность наступает при превышении некоторого критического параметра, например числа Рейнольдса или Релея (в частном случае скорости потока при постоянной плотности и диаметре трубы и/или температуры на внешней границе среды).

При определённых параметрах турбулентность наблюдается в потоках жидкостей и газов, многофазных течениях, жидких кристаллах, квантовых Бозе- и Ферми- жидкостях, магнитных жидкостях, плазме и любых сплошных средах (например, в песке, земле, металлах). Турбулентность также наблюдается при взрывах звёзд, в сверхтекучем гелии, в нейтронных звёздах, в лёгких человека, движении крови в сердце, при турбулентном (т. н. вибрационном) горении.

Турбулентность возникает самопроизвольно, когда соседние области среды следуют рядом или проникают один в другой, при наличии перепада давления или при наличии силы тяжести, или когда области среды обтекают непроницаемые поверхности. Она может возникать при наличии вынуждающей случайной силы. Обычно внешняя случайная сила и сила тяжести действуют одновременно. Например, при землетрясении или порыве ветра падает лавина с горы, внутри которой течение снега турбулентно. Мгновенные параметры потока (скорость, температура, давление, концентрация примесей) при этом хаотично колеблются вокруг средних значений. Зависимость квадрата амплитуды от частоты колебаний (или спектр Фурье) является непрерывной функцией.

Турбулентность, например, можно создать:

• увеличив число Рейнольдса (увеличить линейную скорость или угловую скорость вращения потока, размер обтекаемого тела, уменьшить первый или второй коэффициент молекулярной вязкости, увеличить плотность среды);

• увеличив число Релея (нагреть среду);

• увеличив число Прандтля (уменьшить вязкость);

• задав очень сложный вид внешней силы (примеры: хаотичная сила, удар). Течение может не иметь фрактальных свойств.

• создав сложные граничные или начальные условия, задав функцию формы границ. Например, их можно представить случайной функцией. Например: течение при взрыве сосуда с газом. Можно, например, организовать вдув газа в среду, создать шероховатую поверхность. Использовать разгар сопла. Поставить сетку в течение. Течение может при этом не иметь фрактальных свойств.

• создав квантовое состояние. Данное условие применимо только к изотопу гелия 3 и 4. Все остальные вещества замерзают, оставаясь в нормальном, не квантовом состоянии.

• облучив среду звуком высокой интенсивности.

• с помощью химических реакций, например горения. Форма пламени, как и вид водопада может быть хаотичной.

Теория

Этот раздел статьи следует викифицировать. Пожалуйста, оформите его согласно правилам оформления статей.

При больших числах Рейнольдса, скорости потока от небольших изменений на границе зависят слабо. Поэтому при разных начальных скоростях движения корабля формируется одна и та же волна перед его носом, когда он движется с крейсерской скоростью. Нос ракеты обгорает и создаётся одинаковая картина разгара, несмотря на разную начальную скорость.

Фрактальный — означает самоподобный (не бесконечное, а конечное число раз). У прямой линии фрактальная размерность равна единице. У плоскости равна двум. У шара трём. Русло реки имеет фрактальную размерность больше 1, но меньше двух, если рассматривать его с высоты спутника. У растений фрактальная размерность вырастает с нуля до величины больше двух. Есть характеристика геометрических фигур, называется фрактальная размерность. Наш мир нельзя представить в виде множества линий, треугольников, квадратов, сфер и других простейших фигур. И фрактальная размерность позволяет быстро характеризовать геометрические тела сложной формы. Например, у осколка снаряда.

Нелинейная волна — волна, которая обладает нелинейными свойствами. Их амплитуды нельзя складывать при столкновении. Их свойства сильно меняются при малых изменениях параметров. Нелинейные волны называют диссипативными структурами. В них нет линейных процессов дифракции, интерференции, поляризации. Но есть нелинейные процессы, например, самофокусировка. При этом резко, на порядки увеличивается коэффициент диффузии среды, перенос энергии и импульса, сила трения на поверхность.

То есть, в частном случае, в трубе с абсолютно гладкими стенками при скорости выше некоторой критической, в течение любой сплошной среды, температура которой постоянная, под действием только силы тяжести всегда самопроизвольно образуются нелинейные самоподобные волны и затем турбулентность. При этом нет никаких внешних возмущающих сил. Если дополнительно создать возмущающую случайную силу или ямки на внутренней поверхности трубы, то турбулентность также появится.

В частном случае нелинейные волны — вихри, торнадо, солитоны и другие нелинейные явления (например, волны в плазме — обычные и шаровые молнии), происходящие одновременно с линейными процессами (например, акустическими волнами).

На математическом языке турбулентность означает, что точное аналитическое решение дифференциальных уравнений в частных производных сохранений импульса и сохранения массы Навье-Стокса (это закон Ньютона с добавлением сил вязкости и сил давления в среде и уравнение неразрывности или сохранения массы) и уравнение энергии представляет собой при превышении некоторого критического числа Рейнольдса, странный аттрактор. Они представляют нелинейные волны и обладают фрактальными, самоподобными свойствами. Но так как волны занимают конечный объём, какая-то часть области течения ламинарна.

При очень малом числе Рейнольса — это всем известные линейные волны на воде небольшой амплитуды. При большой скорости мы наблюдаем нелинейные волны цунами или обрушение волн прибоя. Например, крупные волны за плотиной распадаются на волны меньших размеров.

Вследствие нелинейных волн любые параметры среды: (скорость, температура, давление, плотность) могут испытывать хаотические колебания, изменяются от точки к точке и во времени непериодически. Они очень чувствительны к малейшим изменением параметров среды. В турбулентном течении мгновенные параметры среды распределены по случайному закону. Этим турбулентные течения отличаются от ламинарных течений. Но управляя средними параметрами, мы можем управлять турбулентностью. Например, изменяя диаметр трубы, мы управляем числом Рейнольдса, расходом топлива и скоростью заполнения бака ракеты.

Уравнения Навье — Стокса (обычные, а не усреднённые по какому-то интервалу времени) описывают и мягкую, и жёсткую потерю устойчивости течений. Их можно вывести тремя способами из общих законов сохранения: постулируя закон трения Ньютона(обобщённый), следуя методу Чепмена-Энскога и из метода Грэда.

При вязкости равной нулю уравнения сводятся к уравнению Эйлера. Точные решения уравнения Эйлера также хаотичны.

Общепринято считать проекцию вектора скорости на ось координат в турбулентном потоке, состоящей из средней или осреднённой величины, за некоторое выбранное время, и плюс мгновенной составляющей:

U = U_cp + u' = 100 м/c + 0.5 м/с.

Здесь u' — пульсационная составляющая или пульсация. Удобно оказалось ввести степень турбулентности:

e = 100 %*u'/U_cp = 100 %*0.5/100 = 0,5 %.

Для трёх осей: e = (u' + v' + w')/U_cp.

Турбулентное течение с большим числом Рейнольдса называют развитой турбулентностью. При разных граничных условиях оно всегда приводит к созданию одного и того же профиля скоростей. Это свойство независимости параметров от числа Рейнольдса называют автомодельностью течения. Наблюдается экспериментально в струях или в пограничном слое.

Можно создать изотропную турбулентность, когда статистические параметры течения (функция распределения вероятности, дисперсия, моменты) одинаковы в направлении разных осей координат и не зависят от времени.

Теория однородной турбулентности (то есть, при очень больших числах Рейнольдса, когда её статистические параметры не зависят от времени и примерно постоянны в течении, но зависят от направления) была создана советскими учёными Обуховым и Колмогоровым. И использовалась затем во многих инженерных расчётах. Теория привела к созданию упрощённых полуэмпирических моделей течения: k-ε (ка-эпсилон) и многих других.

Большинство течений жидкостей и газов в природе (движение воздуха в земной атмосфере, воды в реках и морях, газа в атмосферах Солнца и звёзд и в межзвёздных туманностях и т. п.), в технических устройствах (в трубах, каналах, струях, в пограничных слоях около движущихся в жидкости или газе твёрдых тел, в следах за такими телами и т. п.) турбулентны из-за наличия источников энергии и импульса, наличия внешних возмущающих сил или отсутствия сил сопротивления трения в квантовых жидкостях.

При процессах горения или химических реакциях на явление турбулентности накладываются множество других физических и химических процессов. Например, эффект конвекции, автоколебаний, гистерезиса. В этом случае говорят о турбулентной конвекции. Обычно принимается, что переход от ламинарного течения к турбулентному происходит при достижении критического числа Рейнольдса (Re). Критическое значение числа Рейнольдса зависит от конкретного вида течения, его коэффициента вязкости, который зависит от температуры, которое зависит от давления (течение в круглой трубе, обтекание шара и т. п.). Например, для течения в круглой трубе $Re_{kp} \simeq 2300$. В последнее время показано, что это правомерно только для напорных потоков. Но удар по трубе, её резкое вращение или колебание могут вызвать появление турбулентности.

То есть, турбулентность может возникать самопроизвольно, а может в результате действий нескольких внешних сил.

При изучении течения жидкости через трубки малого диаметра французским врачом и учёным Пуазейлем в 1840—1842 гг. выведена формула, по которой можно рассчитать расход воды через трубу.^[1][2] До Пуазейля исследованием движения вязкой жидкости через трубы малого диаметра занимался Хаген (1797—1884). При большом расходе формула оказалась неверной. Причина в том, что в трубе возникала турбулентность.

Стоксом, английским учёным-теоретиком были найдены решения уравнения движения вязкой жидкости для малых чисел Re (это второй закон Ньютона с добавками сил давления и сил вязкости), которые он вывел в 1845 г. для движения жидкости в круглой трубе. Затем он получил формулу силы сопротивления при равномерном движении шара в неограниченной жидкости в 1851 году. Её стали использовать для определения коэффициента динамической вязкости. Но решения совпали с опытом лишь при малых скоростях движения жидкости и диаметрах трубы и шара.

Причина этого расхождения была объяснена только опытами Рейнольдса в 1883 г. Он показал существование двух различных режимов движения жидкости — ламинарного и турбулентного — и нашёл один параметр — число Рейнольдса — который позволил предсказать наличие турбулентности для данного течения в трубе. Если бы Стокс нашёл точные решения Навье-Стокса, он бы обнаружил турбулентность теоретически.

Это позволило Рейнольдсу в 1883 г. ввести положение, что течения одинакового типа (труба должна быть геометрически подобной) с одинаковым числом Рейнольдса подобны. Этот закон был назван законом подобия. Затем, на основе опытов, стала развиваться теория размерности и подобия.

Так как Хаген не знал, как выглядят уравнения Навье-Стокса, что такое число подобия Рейнольдса, то нельзя говорить, что он или Леонардо да Винчи открыл турбулентность. Они наблюдали хаотическое движение в воде. Но описать количественно, предсказать его наступление не могли. А подобие течения, рождение самоподобных структур, например вихрей, которые сами состоят из таких же вихрей — основное свойство турбулентности.

То есть Рейнольдс как бы открыл то, что уравнение для силы гравитации и закон Кулона подобны с разницей только в коэффициенте. А Хаген и Пуазейль только нашли отдельные параметры, которые входят в точное решение уравнения Навье-Стокса и влияют на течение.

Частичное описание развитой турбулентности в рамках математики XIX века предложил Л. Ричардсон в начале XX века. Мешая ложкой чай в стакане, мы создаём вихри размером порядка размера стакана, ложки. Вязкость действует на течение тем сильнее, чем меньше характерный размер течения. Под характерным размером понимают какой-то геометрический параметр, сильно влияющий на течение. Диаметр стакана, его высота, ширина ложки. При большом числе Рейнольдса на эти крупномасштабные движения молекулярная вязкость действует слабо.

Уравнение движения жидкости (Навье-Стокса) нелинейно, так как скорость жидкости переносится самой скоростью и эти вихри неустойчивы. Они дробятся на более мелкие вихри, те на более мелкие. В конце концов на малых размерах вступает в действие молекулярная вязкость, и самые мелкие вихри затухают за счёт неё. Эта представление назвали прямой каскад (или переход от больших масштабов в меньшие).

Турбулентность формально связана с биологическими объектами, с процессами митоза и роста некоторых раковых опухолей, с теорией радиоактивного распада, с процессами, происходящими на рынках акций.

Есть разница между понятием турбулентность и турбулентное течение. Термин турбулентное течение возник в гидравлике. Затем были открыты квантовые жидкости. Их вязкость всегда равна нулю. Если подсчитать для них число Рейнольдса, оно всегда равно бесконечности, когда проекция вектора скорости не равна нулю. Само турбулентное течение может присутствовать в системе очень мелких вихрей, в некоторых малых частях среды. Поэтому, средняя скорость течения равна нулю, когда квантовая жидкость покоится в сосуде. Число Рейнольдса не определено (в числителе нулевая скорость, в знаменателе нулевая вязкость).

В советской науке

До 1917 года в российской науке пользовались термином беспорядочное течение. В 1938 году Капицей было открыто турбулентное течение в квантовых средах — сверхтекучем гелии. В жидком гелии есть два типа звука — первый и второй, они могут создавать волновую турбулентность на его поверхности.

В 1941 году А. Н. Колмогоровым и A. М. Обуховым создана теория однородной турбулентности для несжимаемых течений при больших числах Re. Затем в 1960-е годы было начато изучение нелинейных волн, солитонов.

В 1970-е годы в СССР Захаровым Владимиром Евгеньевичем была изучена слабая или «волновая» турбулентность волн на поверхности воды (её называют вырожденной). Турбулентность внутри сред назвали сильной.

В 1975 году введено понятие фрактал математиком Бенуа Мандельбротом. А константа Фейгенбаума, используемая при описании фрактальной среды с детерминированным хаосом, была получена в 1978. Тогда же был открыт сценарий Фейгенбаума (или субгармонический каскад) — частный вид перехода к турбулентности.

Физикам было непонятно, почему при хаотическом движении, похожем на Броуновское, в жидкости или газе вдруг миллиарды молекул сворачиваются в кольцо. В начале 80-х годов Ю. Л. Климонтович, профессор МГУ им. Ломоносова, выдвинул гипотезу[15] о том, что турбулентность — это не хаотичное, а высокоорганизованное, упорядоченное течение. И что энтропия при переходе от ламинарного к турбулентному течению уменьшается. Поэтому спонтанно образуются различные структуры. Он предложил свой критерий, на основе «S-теоремы», по которому можно было рассчитать степень упорядоченности сплошной среды, используя величину производства энтропии. Он не знал, что сценарий Фейгенбаума и другие их виды встречаются в реальных турбулентных средах и считал, что модели сплошной среды недостаточно для появления турбулентности и в уравнении Навье — Стокса нет турбулентности. Поэтому даже для простого движения воды он вводил в уравнения некие искусственные дополнительные флуктуационные члены, что было ошибкой[15]. Аналогично вводил дополнительные члены в уравнения сохранения импульса или движения О. Рейнольдс.

Его «S-теорема» была очень плохо изложена для экспериментаторов и было непонятно, как её применять в эксперименте и чем она лучше понятия K-энтропии[11,15]. Она противоречила многолетней практике инженеров. Они часто использовали подход, когда энтропия была постоянной для течения (модель изэнтропического газа).

Инженеры и ученые часто используют технический жаргон, для описания отдельных явлений турбулентности, не понимая ее сущности.Они не несут никакого строгого физического смысла.

Пульсация- так они называют негармонические,хаотические колебания с высокой частотой, которые нельзя описать простой функцией sin(x,y,z,t), относительно некоторого среднего значения.Этот термин используется при обработки графиков, получаемых от датчиков или приемников давления, от лазерно-доплеровского анемометра, от шлейфового осциллографа.

Моль - так называется небольшая нелинейная волна смеси топлива и воздуха, которая должна сгореть.Они заполняют некоторый объем камеры сгорания.Термин иногда используется в теории горения.

Торсионное движение или просто торсион - так иногда стало называться кручение.

Турбулентность в природе

Животные умеют пользоваться турбулентностью. Обычно они подавляют её и управляют её структурой, умеют извлекать энергию из набегающего потока (или ждут попутного ветра). Например, у некоторых из них очень гладкая кожа. Форма поверхности тела такова, что её кривизна — гладкая функция. То есть ваше изображение в зеркале, изготовленном в виде тела дельфина, будет плавно, без изломов меняться на большей части поверхности. Площадь, где кривизна претерпевает разрывы, минимальна. Они используют слизь на коже или перья, шерсть для разрушения поверхностных волн, которые потребляют много энергии, когда образуются при взмахе крыла или движении хвоста. Кончик крыла или плавника всегда острый, чтобы размер волны, образованной на конце, был минимальный. У китов есть канавки, проходящие вдоль тела от рта, создающие особую структуру турбулентного течения.

Мухи (за счёт волосков на теле), бабочки (под микроскопом видны системы на крыльях, как решётки чешуек) и птицы используют машущий полет. Они создают вихри в полете, которые позволяют им развить в разы большую подъёмную силу, чем планер того же веса, и достичь большей скорости, тратя меньше энергии.

Турбулентность в технике

Её стараются либо подавить, либо искусственно создать. Например, при строительстве Норильского комбината было обнаружено, что малый диаметр труб, в котором течение турбулентно, не приводит к увеличению расхода подаваемого воздуха в доменную печь при увеличении внешнего давления подаваемого воздуха. Поэтому были вынуждены поставить параллельно ещё одну трубу, подающую воздух. Причиной этого явления является звуковое запирание трубы, когда скорость потока в трубе достигает скорости звука и дальше расти не может.

У самолётов ставят винглеты — загнутые кверху законцовки крыла. Они экономят до 4 процентов топлива, так как при этом уменьшается размер и число образуемых за крылом вихрей, которые уносят с собой полезную кинетическую энергию (это так называемые волновые потери).

В тех случаях, когда возникает переходный режим от ламинарного к турбулентному, могут возникать колебания давления, подъёмной силы. Поэтому по всей длине крыла ставят вихрегенераторы (изогнутые скобы). Они стабилизируют параметры потока. Течение после них всегда турбулентно. Поэтому подъёмная сила крыла постепенно растёт с увеличением скорости самолёта.

Когда нужно быстро перемешать топливо с воздухом и сжечь его, ставят специальные устройства: центробежные и струйные форсунки в камере сгорания. Они, как и выбранная длина камеры сгорания, обеспечивают полное сгорание топлива.

Виды турбулентности

• Двумерная турбулентность. Получается в искусственно создаваемой мыльной плёнке воды толщиной от 4 до 5 микрон^[3].

• Оптическая турбулентность. Очень мощный луч лазера проходит через стекло и начинает рассеиваться хаотически, сам на себе. Свет — это волны, поэтому это турбулентность световых волн. Хаотичное мерцание звёзд на ночном небе связано с случайным изменением плотности воздуха. Это так же проявление турбулентности.

• Речная турбулентность. Течение воды в реке турбулентно. Но за сотни тысяч лет русло реки может не менять свою форму(например, русло реки Волги, Москвы реки, пока их не уничтожили в 19-20 веке). Когда число Рейнольдса и расход меняется, река меняет шероховатость своего дна. Река — одна из самых совершенных самоуправляющихся систем в неорганическом мире.

• В жидких кристаллах (нематиках), когда скорость среды равна нулю, наблюдается так называемая «медленная» турбулентность.

• Химическая турбулентность. В частном случае, она может быть описана уравнением В. Н. Николаевского.^[4].

• Кварк-глюонная плазма, которая существовала на ранней стадии Вселенной, описывается моделью идеальной жидкости (то есть уравнением Навье-Стокса с величиной вязкости, равной нулю). Это пример турбулентного состояния плазмы.

• Однородная и изотропная
  • Изотропная — когда её статистические параметры не зависят от направления. Создаётся искусственно на некотором расстоянии после металлической сетки или решётки.
  • Однородная — когда её параметры меняются вдоль выбранной оси, но в данном сечении (например, трубы́) они одинаковы.

• На поверхности вибрирующейся многофазной жидкости. Например, в слое стеклянных сфер в кукурузном крахмальном сиропе при частоте 120 Гц и виброускорении в 25 g.

Литература

• [1] Reynods O., An experimental investigation of the circumstances which determine whether the motion of water shall be direct or sinuous, and of the law of resistance in parallel channels. Phil. Trans. Roy. Soc., London, 1883, v.174
• [2]Feigenbaum M., Journal Stat Physics, 1978, v.19, p. 25
• [3]Feigenbaum M., Journal Stat Physics, 1979, v.21, p. 669
• [4]Фейгенбаум M., Успехи Физических наук, 1983, т.141, с. 343 [перевод Los Alamos Science,1980,v.1, p. 4] [1]

• [5]Ландау Л.Д, Лифшиц Е. М. Гидродинамика, — М.: Наука, 1986. — 736 с.
• [6]Монин А. С., Яглом А. М., Статистическая гидромеханика. В 2-х ч. — Санкт-Петербург: Гидрометеоиздат , Ч. 1, 1992. — 695 с;, Москва, Наука Ч. 2, 1967. — 720 с.
• [7]Обухов А. М. Турбулентность и динамика атмосферы «Гидрометеоиздат» 414 стр. 1988 ISBN 5-286-00059-2
• [8]Проблемы турбулентности. Сборник переводных статей под ред. М. А. Великанова и Н. Т. Швейковского. М.-Л., ОНТИ, 1936. — 332 с.
• [9]Д. И. Гринвальд, В. И. Никора, «Речная турбулентность», Л.,Гидрометеоиздат, 1988,152 с.
• [10]П. Г. Фрик. Турбулентность: модели и подходы. Курс лекций. Часть I. ПГТУ, Пермь, 1998. — 108 с. Часть II. — 136 с.
• [11]П. Берже, И. Помо, К. Видаль, Порядок в хаосе, О детерминистическом подходе к турбулентности, М, Мир, 1991, 368 с.
• [12]K.E. Gustafson, Introduction to partial differential equations and Hilbert space methods — 3rd ed.,1999
• [13]Introducing Fractal Geometry, Nigel Lesmoir Gordon, Will Rood, Ralph Edney, Icon Books,Totem Books, 2000, 176 p.
• [14]Д. Глейк, Хаос, Создание новой науки, 1988,Penguin books, 354 с (написана журналистом для школьников и студентов)

http://www.infanata.org/science/1146125509-xaos-sozdanie-novoj-nauki.html

• [15]Ю. Л. Климонтович, Статистическая теория открытых систем, Москва, ТОО Янус, 1995. −624 с.
• [16]Recent Advances in Engineering Science (Springer — Verlag, Berlin. 1989), V. N. Nikolaevskii.
• [17]http://www.lehigh.edu/~jdg4/publications/Ext_Chaos.pdf
• [18]Dan Tanaka, Chemical turbulence equivalent to Nikolavskii turbulence, PHYSICAL REVIEW E 70, 015202(R), 2004
• [19]Г. Голдстейн, Классическая механика,Кембридж, 1950, 408 с.
• [20]Л. Ц. Аджемян, М. Ю. Налимов,Принцип максимальной хаотичности в статистической теории развитой турбулентности. II. Изотропная затухающая турбулентность,1992
• [21]http://www.mathnet.ru/php/getFT.phtml?jrnid=tmf&paperid=5578&what=fullt&option_lang=rus
• [22]http://www.mathnet.ru/php/getFT.phtml?jrnid=tmf&paperid=1497&what=fullt&option_lang=rus

См. также

• Ламинарное течение
• Фрактал
• Гидравлический прыжок

Ссылки

• Видеоролик, демонстрирующий на опыте ламинарное и турбулентное течения

Примечания

1. ↑ Титьенс О.N.. Гидро- и аэромеханика Том 2 Движение жидкостей с трением и технические приложения — Гидродинамика и газодинамика. Промышленное оборудование — насосы, компрессоры …
2. ↑ Титьенс О.N.. Гидро- и аэромеханика Том 2 Движение жидкостей с трением и технические приложения — Гидродинамика и газодинамика. Промышленное оборудование — насосы, компрессоры …
3. ↑ Fluid Picture Gallery
4. ↑ http://repository.kulib.kyoto-u.ac.jp/dspace/bitstream/2433/49992/1/e015202.pdf

Для улучшения этой статьи желательно?: Викифицировать статью. Переработать оформление в соответствии с правилами написания статей. Исправить статью согласно стилистическим правилам Википедии.

В данной статье или разделе имеется список источников или внешних ссылок, но источники отдельных утверждений остаются неясными из-за отсутствия сносок. Вы можете улучшить статью, внеся более точные указания на источники.