Логическая дизъюнкция

Дизъю́нкция — логическая операция, по своему применению максимально приближенная к союзу «или» в смысле «или то, или это, или оба сразу». Синонимы: логи́ческое «ИЛИ», включа́ющее «ИЛИ», логи́ческое сложе́ние, иногда просто «ИЛИ».

Это бинарная инфиксная операция, то есть, она имеет два операнда и стоит между ними. Чаще всего встречаются следующие варианты записи:
$~a$ || $~b, ~a$ | $~b, a \lor b, a + b, ~a~\mbox{OR} ~b$.

Булева алгебра

В булевой алгебре дизъюнкция — это функция двух переменных (они же — операнды операции). Переменные Правило: результат равен $~0$, если оба операнда равны $~0$; во всех остальных случаях результат равен $~1$.

Таблица истинности
$~a$	$~b$	$~a \lor b$
$~0$	$~0$	$~0$
$~0$	$~1$	$~1$
$~1$	$~0$	$~1$
$~1$	$~1$	$~1$

Многозначная логика

В многозначной логике операция дизъюнкции может определяться другими способами. Чаще всего применяется схема: $a \lor b = max(a, b)$, где $~a, b \in [0, 1]$. Возможны и другие варианты. Как правило, стараются сохранить совместимость с булевой алгеброй для значений операндов $~0, 1$.

Классическая логика

В классическом исчислении высказываний свойства дизъюнкции определяются с помощью аксиом. Классическое исчисление высказываний может быть задано разными системами аксиом, и некоторые из них будут описывать свойства дизъюнкции. Один из самых распространенных вариантов включает 3 аксиомы для дизъюнкции:
$~a \to a \lor b$
$~b \to a \lor b$
$~(a \to c) \to ((b \to c) \to ((a \lor b) \to c))$

С помощью этих аксиом можно доказать другие формулы, содержащие операцию дизъюнкции. Обратите внимание, что в классическом исчислении высказываний не происходит вычисления результата по значениям операндов (как в булевой алгебре), а требуется доказать формулу как единое целое на основе аксиом и правил вывода.

Программирование

В компьютерных языках используется два основных варианта дизъюнкции: логическое «ИЛИ» и побитовое «ИЛИ». Например, в языках C/C++ логическое «ИЛИ» обозначается символом "||", а побитовое — символом "|".

Логическое «ИЛИ» применяется в операторах условного перехода или в аналогичных случаях, когда требуется получение результата $~false$ или $~true$. Например:

if (a || b) 
{
    /* какие-то действия */
};

Результат будет равен $~false$, если оба операнда равны $~false$ или $~0$. В любом другом случае результат будет равен $~true$.

При этом применяется стандартное соглашение: если значение левого операнда равно $~true$, то значение правого операнда не вычисляется (вместо $~b$ может стоять сложная формула). Такое соглашение ускоряет исполнение программы и служит полезным приемом в некоторых случаях. Например, если левый операнд проверяет необходимость вычисления правого операнда:

if (a == NULL || a->x == 0) 
{
    /* какие-то действия */
};

В этом примере, благодаря проверке в левом операнде, в правом операнде никогда не произойдет разыменования нулевого указателя.

Побитовое «ИЛИ» выполняет обычную операцию булевой алгебры для всех битов левого и правого операнда попарно. Например,

если
a =	$~01100101_2$
b =	$~00101001_2$
то
a ИЛИ b =	$~01101101_2$

Связь с естественным языком

Часто указывают на сходство между дизъюнкцией и союзом «или» в естественном языке, когда он употребляется в смысле «или то, или то, или оба сразу». В юридических документах часто пишут: «и/или», подразумевая «или то, или то, или оба сразу». Составное утверждение «A и/или B» считается ложным, когда ложны оба утверждения A и B, в противном случае составное утверждение истинно. Это в точности соответствует определению дизъюнкции в булевой алгебре, если «истину» обозначать как 1, а «ложь» как 0.

Неоднозначность естественного языка заключается в том, что союз «или» используется в двух значениях: то для обозначения дизъюнкции, то для другой операции — исключающего «ИЛИ».

См. также

• Логическая операция
• Конъюнкция
• Импликация
• Отрицание