Линейная стационарная система

Теория линейных стационарных систем — раздел теории динамических систем, изучающая поведение и динамические свойства линейных стационарных систем (ЛСС). Широко используется в процессе управления техническими системами, цифровой обработке сигналов и других областях инженерного дела.

Обзор

Определяющими свойствами для любой линейной стационарной системы являются линейность и стационарность:

• Линейность означает, что связь между входом и выходом системы удовлетворяет свойству. Формально, линейной называется система, обладающая следующим свойством: если сигнал на входе системы -

$x(t) = Ax_1(t) + Bx_2(t) \,$

тогда сигнал на выходе системы -

$y(t) = Ay_1(t) + By_2(t) \,$

для любых постоянных A и B, где y_i(t) — выход системы как реакция на входной сигнал x_i(t).

• Стационарность — означает, что выходной сигнал системы как реакция на любой заданный входной сигнал одинаков для любого момента приложения входного сигнала (с точностью до времени запаздывания момента приложения входного сигнала). В более узком смысле — при запаздывании входного сигнала по времени на некоторую величину, выходной сигнал будет запаздывать на ту же самую величину.

Динамика систем, обладающих вышеперечисленными свойствами, может описываться одной простой функцией, к примеру, импульсной переходной функцией. Выход системы может рассчитываться как свёртка входного сигнала с импульсной переходной функцией системы. Этот метод анализа иногда называется анализом во временной области. Сказанное справедливо и для дискретных систем.

Связь между временной областью и частотной областью

Кроме того, любая ЛСС может быть описана в частотной области с помощью своей передаточной функции, которая является преобразование Лапласа импульсной передаточной функции (или Z-преобразованием в случае дискретных систем). В силу свойств этих преобразований, выход системы в частотной области будет равен произведения передаточной функции и соответсвующего преобразования входного сигнала. Другими словами, свёртке во временной области соответсвует умножение в частотной области.

Для всех ЛСС собственные функции являются комлексными экспонентами. То есть, если вход системы представляет собой комплексный сигнал Aexp(st) с некоторой комплексной амплитудой A и частотой s, то выход будет равен некоторому сигналу Bexp(st) с комплексной амплитудой B. Отношение B / A будет являться передаточной функцией системы на частоте s.

Так как синусоиды представляют собой сумму компелксных экспонент с комплексно-сопряжёнными частотами, если вход системы — синусоида, то выходом системы будет также синусоида, в общем случае с другой амплитудой и фазой, но с той же частотой.

Теория ЛСС хорошо подходит для описания многих систем. Большинство ЛСС гораздо проще анализировать, чем нестационарные и нелинейные системы. Любая система, динамика которой описывается линейным дифференциальным уравнением с постоянными коэффициентами, является линейной стационарной системой. Примерами таких систем являются электрические схемы, собранные из резисторов, конденсаторов и катушек индуктивности (RLC-цепочки). Груз на пружинке также можно считать ЛСС.

Большая часть общих концепций ЛСС схожа как в случае непрерывных систем, так и в случае дискретных систем.

Стационарность и линейные преобразования

Рассмотрим нестационарную систему, чья импульсная характеристика представляет собой функцию двух переменных. Посмотрим, как свойство стационарности поможет нам избавиться от одного измерения. К примеру, пусть входной сигнал — x(t), где аргумент — числа действительной оси, то есть $t \in \mathbb{R}$. Линейный оператор $\mathcal{H}$ показывает, как система отрабатывает этот входной сигнал. Соответствующий оператор для некоторого набора аргументов представляет собой функцию двух переменных:

$h(t_1, t_2) \mbox{, } t_1, t_2 \in \mathbb{R}.$

Для дискретной системы:

$h[n_1, n_2] \mbox{, } n_1, n_2 \in \mathbb{Z}.$

Так как $\mathcal{H}$ — линейный оператор, воздействие системы на входной сигнал x(t) представляется линейным преобразованием, описываемым следующим интегралом (интеграл суперпозиции)

$y(t_1) = \int\limits_{-\infty}^{\infty} h(t_1, t_2) \, x(t_2) \, d t_2.$

Если линейный оператор $\mathcal{H}$ ко всему прочему является и стационарным, тогда

$h(t_1, t_2) = h(t_1 + \tau, t_2 + \tau) \qquad \forall \, \tau \in \mathbb{R}.$

Положив

$\tau = -t_2, \,$

получим:

$h(t_1, t_2) = h(t_1 - t_2, 0). \,$

Для краткости записи второй аргумент в h(t₁,t₂) обычно опускается и интеграл суперпозиции становится интегралом свёртки:

$y(t_1) = \int\limits_{-\infty}^{\infty} h(t_1 - t_2) \, x(t_2) \, d t_2 = (h * x) (t_1).$

Таким образом, интеграл свёртки показывает как линейная стационарная система отрабатывает любой входной сигнал. Полученное соотношение для дискретных систем:

$y[n_1] = \sum_{n_2=-\infty}^{\infty} h[n_1 - n_2] \, x[n_2] = (h * x) [n_1].$

Импульсная переходная функция

Если ко входу системы приложить входной сигнал в виде дельта-функции Дирака, результирующий выходной сигнал ЛСС будет представлять собой импульсную переходную функцию системы. Запись:

$(h * \delta) (t) = \int\limits_{-\infty}^{\infty} h(t - \tau) \, \delta (\tau) \, d \tau = h(t),$

Для дискретной системы:

$x[n] = \sum_{m=-\infty}^\infty x[m] \delta[n-m].$

(из-за свойства сдвига дельта-функции).

Заметим, что:

$h(t) = h(t, 0) \ (\mbox{with } t = t_1 - t_2)$

то есть h(t) — импульсная переходная функция системы

Импульсная переходная функция используется для того, чтобы найти выходной сигнал системы как реакцию на любой входной сигнал. Кроме того, любой вход может быть представлен в виде суперпозиции дельта-функций:

$x(t) = \int\limits_{-\infty}^\infty x(\tau) \delta(t-\tau) \,d\tau$

Приложив ко входу системы, получим:

$\mathcal{H} x(t) = \mathcal{H} \int\limits_{-\infty}^\infty x(\tau) \delta(t-\tau) \,d\tau$

$\quad = \int\limits_{-\infty}^\infty \mathcal{H} x(\tau) \delta(t-\tau) \,d\tau$ (так как $\mathcal{H}$ линейна)

$\quad = \int\limits_{-\infty}^\infty x(\tau) \mathcal{H} \delta(t-\tau) \,d\tau$ (так как x(τ) постоянна по t и $\mathcal{H}$ линейна)

$\quad = \int\limits_{-\infty}^\infty x(\tau) h(t-\tau) \,d\tau$ (by definition of h(t))

В импульсной переходной функции h(t) содержится вся информация о динамике ЛСС.

Собственные функции

Собственная функция — функция, для которой выход оператора представляет собой ту же функцию, в общем случае с точностью до постоянного множителя. Запись:

$\mathcal{H}f = \lambda f$,

где f — собственная функция, и λ — собственное число, константа.

Экспоненты e^st, где $s \in \mathbb{C}$ являются собственными функциями линейного стационарного оператора. Простое доказательство:

Пусть входной сигнал системы x(t) = e^st. Тогда выходной сигнал системы h(t) равен:

$\int\limits_{-\infty}^{\infty} h(t - \tau) e^{s \tau} d \tau$

что эквивалентно следующему выражению в силу коммутативности свёртки:

$\int\limits_{-\infty}^{\infty} h(\tau) \, e^{s (t - \tau)} \, d \tau$

$\quad = e^{s t} \int\limits_{-\infty}^{\infty} h(\tau) \, e^{-s \tau} \, d \tau$

$\quad = e^{s t} H(s)$,

где

$H(s) = \int\limits_{-\infty}^\infty h(t) e^{-s t} d t$

зависит только от s.

Таким образом, e^st — собственная функция ЛСС.

Преобразования Лапласа и Фурье

Преобразование Лапласа

$H(s) = \mathcal{L}\{h(t)\} = \int\limits_{-\infty}^\infty h(t) e^{-s t} d t$

является точным способом получить собственные числа из импульсной переходной функции. Особенный интерес представляют чистые синусоиды, то есть экспоненты вида exp(jωt) где $\omega \in \mathbb{R}$ и $j = \sqrt{-1}$. Они обычно называются комплексными экспонентами даже если аргумент не имеет действительной части. Преобразование Фурье $H(j \omega) = \mathcal{F}\{h(t)\}$ даёт собственные числа для чисто комплексных синусоид. H(s) называется передаточной функцией системы, иногда в литературе этот термин применяют и к H(jω).

Преобразование Лапласа обычно используется для односторонних сигналов, то есть при нулевых начальных условиях. Начальный момент времени без потери общности принимается за ноль, а преобразование берётся от ноля до бесконечности (преобразование, которое получается при интегрировании также и до минус бесконечности, называется двустороннее преобразование Лапласа).

Преобразование Фурье используется для анализа систем, через которые проходят периодические сигналы, и во многих других случаях — например, для анализа системы на устойчивость.

Из-за свойств свёртки для обоих преобразований имеют место следующие соотношения:

$y(t) = (h*x)(t) = \int\limits_{-\infty}^\infty h(t - \tau) x(\tau) d \tau$

$\quad = \mathcal{L}^{-1}\{H(s)X(s)\}$

Для дискретных систем:

$y[n] = (h*x)[n] = \sum_{m=-\infty}^\infty h[n-m] x[m]$

$\quad = \mathcal{Z}^{-1}\{H(s)X(s)\}$

Некоторые свойства

Некоторые из важных свойств любой системы — причинность и устойчивость. Для того, чтобы система существовала в реальном мире, должен выполняться принцип причинности. Неустойчивые системы могут быть построены и иногда быть даже полезными.

Причинность

Основная статья: Причинная система

Система называется причинной, если её выход зависит только от текущего или предыдущего приложенного воздействия. Необходимое и достаточное условие причинности:

$h(t) = 0 \quad \forall t < 0,$

Для дискретных систем:

$h[n] = 0 \ \forall n < 0,$

где h(t) — импульсная переходная функция. В явном виде определить причинная система или нет из её преобразования Лапласа в общем случае невозможно, так как обратное преобразование Лапласа не является уникальным. Причинность может быть определена когда задана область сходимости.

Устойчивость

Основная статья: Устойчивость BIBO

Система является устойчивой по ограниченному входу, ограниченному выходу (англ. bounded input, bounded output stable, BIBO stable) если для каждого ограниченного входа выходной сигнал является конечным. Запись: Если

$||x(t)||_\infty = \lim_{p \to \infty} \left(\int\limits_{-\infty}^\infty |x(t)|^p dt \right)^{1/p} < \infty$

и

$||y(t)||_\infty = \lim_{p \to \infty} \left(\int\limits_{-\infty}^\infty |y(t)|^p dt \right)^{1/p} < \infty$

(то есть, максимумы абсолютных значений x(t) и y(t) конечны), тогда система устойчива. Необходимое и достаточное условие устойчивости: импульсная переходная характеристика системы, h(t), должна удовлетворять выражению

$||h(t)||_1 = \int\limits_{-\infty}^\infty |h(t)| dt < \infty.$

Для дискретных систем:

$||h[n]||_1 = \sum_{n = -\infty}^\infty |h[n]| < \infty.$

В частотной области область сходимости должна содержать мнимую ось s = jω.

См. также

• АФЧХ
• ЛАФЧХ
• Системный анализ
• Передаточная функция
• Функция Грина
• Нелинейное управление

Ссылки

• P. P. Vaidyanathan and T. Chen (May 1995). "Role of anticausal inverses in multirate filter banks -- Part I: system theoretic fundamentals". IEEE Trans. Signal Proc..

• P. P. Vaidyanathan and T. Chen (May 1995). "Role of anticausal inverses in multirate filter banks -- Part II: the FIR case, factorizations, and biorthogonal lapped transforms". IEEE Trans. Signal Proc..

• В.И. Зубов Теория уравнений управляемого движения. — Л.: ЛГУ, 1980.