Лемма о вложенных промежутках

Лемма о вложенных отрезках или лемма Кантора — это фундаментальное утверждение в математическом анализе, связанное с полнотой поля вещественных чисел.

Формулировка

Пусть дана последовательность вложенных отрезков $\{X_n\}_{n=1}^{\infty},$ то есть $X_n = [a_n,b_n],\; X_{n+1} \subset X_n,\; n\in \mathbb{N}.$ Тогда

1. найдется хотя бы одна точка, принадлежащая всем этим отрезкам, то есть

   $\bigcap\limits_{n=1}^{\infty}X_n \neq \emptyset.$

2. если длина отрезков стремится к нулю, то такая точка единственна:

   $\left(\lim\limits_{n \to \infty} (b_n - a_n) = 0 \right) \Rightarrow \left( \exists ! c\in \mathbb{R}\; \bigcap\limits_{n=1}^{\infty}X_n = \{c\} \right).$

Замечание

Отрезки в формулировке теоремы нельзя заменить на открытые интервалы. Например,

$\bigcap\limits_{n=1}^{\infty} \left( 0, \frac{1}{n} \right) = \emptyset.$

Доказательство

1) $\bigcap\limits_{n=1}^{\infty}X_n \neq \emptyset.$

$\left\{ a_n \right\}$ левее $\left\{ b_n \right\}$ Тогда, из определения о вложенных отрезках $\mathcal {8}n : a_n\leqslant c \leqslant b_n => c \in \mathbf{X_n}$

2) $\left(\lim\limits_{n \to \infty} (b_n - a_n) = 0 \right) \Rightarrow \left( \exists ! c\in \mathbb{R}\; \bigcap\limits_{n=1}^{\infty}X_n = \{c\} \right).$

$\left\{ a_n \right\} \uparrow$, что для любого $n : a_n<b_1\,\!$, следовательно существует $\lim_{n\rightarrow\infty}a_n=c^\prime\$

$\left\{ b_n \right\} \downarrow$, что для любого $n : b_n>a_1\,\!$, и существует $\lim_{n\rightarrow\infty}b_n=c^{\prime\prime}\$

Так как мы доказываем единственность точки, следовательно пределы последовательностей в этой точке $\left\{ a_n \right\}$ и $\left\{ b_n \right\}$ равны. Из этого следует, $\lim_{n\rightarrow\infty}(b_n-a_n)=0\$

Как нам известно $\lim_{n\rightarrow\infty}a_n=c^\prime\$, а $\lim_{n\rightarrow\infty}b_n=c^{\prime\prime}\$, то

$\lim_{n\rightarrow\infty}(b_n-a_n)={\lim_{n\rightarrow\infty}b_n-\lim_{n\rightarrow\infty}a_n}\ \Rightarrow \ c^{\prime\prime}-c^\prime=0 \Rightarrow \ c^{\prime\prime}=c^\prime$

Что и требовалось доказать.