Лемма Коши-Кантора

Лемма Коши-Кантора

Лемма о вложенных отрезках или лемма Кантора — это фундаментальное утверждение в математическом анализе, связанное с полнотой поля вещественных чисел.

Формулировка

Пусть дана последовательность вложенных отрезков \{X_n\}_{n=1}^{\infty}, то есть X_n = [a_n,b_n],\; X_{n+1} \subset X_n,\; n\in \mathbb{N}. Тогда

  1. найдется хотя бы одна точка, принадлежащая всем этим отрезкам, то есть
    \bigcap\limits_{n=1}^{\infty}X_n \neq \emptyset.
  2. если длина отрезков стремится к нулю, то такая точка единственна:
    \left(\lim\limits_{n \to \infty} (b_n - a_n) = 0 \right) \Rightarrow \left( \exists ! c\in \mathbb{R}\; \bigcap\limits_{n=1}^{\infty}X_n = \{c\} \right).

Замечание

Отрезки в формулировке теоремы нельзя заменить на открытые интервалы. Например,

\bigcap\limits_{n=1}^{\infty} \left( 0, \frac{1}{n} \right) = \emptyset.

Доказательство

1) \bigcap\limits_{n=1}^{\infty}X_n \neq \emptyset.

 \left\{ a_n \right\} левее  \left\{ b_n \right\} Тогда, из определения о вложенных отрезках  \mathcal {8}n : a_n\leqslant c \leqslant b_n  => c \in \mathbf{X_n}

2) \left(\lim\limits_{n \to \infty} (b_n - a_n) = 0 \right) \Rightarrow \left( \exists ! c\in \mathbb{R}\; \bigcap\limits_{n=1}^{\infty}X_n = \{c\} \right).


 \left\{ a_n \right\} \uparrow , что для любого n : a_n<b_1\,\!, следовательно существует \lim_{n\rightarrow\infty}a_n=c^\prime\

 \left\{ b_n \right\} \downarrow , что для любого n : b_n>a_1\,\!, и существует \lim_{n\rightarrow\infty}b_n=c^{\prime\prime}\


Так как мы доказываем единственность точки, следовательно пределы последовательностей в этой точке  \left\{ a_n \right\}  и  \left\{ b_n \right\}  равны. Из этого следует,  \lim_{n\rightarrow\infty}(b_n-a_n)=0\


Как нам известно \lim_{n\rightarrow\infty}a_n=c^\prime\ , а \lim_{n\rightarrow\infty}b_n=c^{\prime\prime}\ , то

 \lim_{n\rightarrow\infty}(b_n-a_n)={\lim_{n\rightarrow\infty}b_n-\lim_{n\rightarrow\infty}a_n}\ \Rightarrow \ c^{\prime\prime}-c^\prime=0 \Rightarrow \ c^{\prime\prime}=c^\prime

Что и требовалось доказать.



Wikimedia Foundation. 2010.

Игры ⚽ Поможем решить контрольную работу

Полезное


Смотреть что такое "Лемма Коши-Кантора" в других словарях:

  • Принцип Коши-Кантора — Лемма о вложенных отрезках или лемма Кантора это фундаментальное утверждение в математическом анализе, связанное с полнотой поля вещественных чисел. Формулировка Пусть дана последовательность вложенных отрезков то есть Тогда найдется хотя бы одна …   Википедия

  • Лемма Гейне — Бореля — Леммой Гейне Бореля [1], а также леммой Бореля Лебега [2] называется следующий факт, играющий фундаментальную роль в анализе: Из всякой бесконечной системы интервалов, покрывающей отрезок числовой прямой, можно выбрать конечную подсистему, также… …   Википедия

  • Лемма Гейне — Леммой Гейне Бореля [1], а также леммой Бореля Лебега [2] называется следующий факт, играющий фундаментальную роль в анализе: Из всякой бесконечной системы интервалов, покрывающей отрезок числовой прямой, можно выбрать конечную подсистему, также… …   Википедия

  • Лемма о вложенных отрезках — Лемма о вложенных отрезках, или принцип вложенных отрезков Коши Кантора[1], или принцип непрерывности Кантора[2]  фундаментальное утверждение в математическом анализе, связанное с полнотой поля вещественных чисел. Содержание 1 Формулировка …   Википедия

  • Непрерывность множества действительных чисел — Непрерывность действительных чисел  свойство системы действительных чисел , которым не обладает множество рациональных чисел . Иногда вместо непрерывности говорят о полноте системы действительных чисел[1]. Существует несколько различных… …   Википедия

  • Теорема Больцано — Вейерштрасса — Теорема Больцано Вейерштрасса, или лемма Больцано Вейерштрасса о предельной точке  предложение анализа, одна из формулировок которого гласит: из всякой ограниченной последовательности точек пространства можно выделить сходящуюся… …   Википедия

  • Теорема Больцано — Теорема Больцано  Вейерштрасса, или лемма Больцано  Вейерштрасса о предельной точке  предложение анализа, одна из формулировок которого гласит: из всякой ограниченной последовательности точек пространства можно выделить сходящуюся… …   Википедия

  • Вещественное число — Вещественное, или действительное число [1] математическая абстракция, возникшая из потребности измерения геометрических и физических величин окружающего мира, а также проведения таких операций как извлечение корня, вычисление логарифмов, решение… …   Википедия


Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»