Огибающая

Огибающая семейства прямых.

Кривая $\gamma$ называется огибающей семейства кривых $\gamma_\alpha$, зависящих от параметра $\alpha$, если она в каждой своей точке касается хотя бы одной кривой семейства и каждым своим отрезком касается бесконечного множества этих кривых.

Определение

Пусть имеется семейство кривых $\gamma_\alpha$, зависящих от параметра $\alpha$ и задающихся уравнением: $F(\alpha, x, y) = 0$. Тогда огибающая семейства кривых определяется как множество точек, для которых выполнено

$F(\alpha, x, y) = {\partial F \over \partial \alpha}(\alpha, x, y) = 0$

для некоторого значения $\alpha$, где $\tfrac{\partial F}{\partial \alpha}$ — частная производная функции $F$ по параметру $\alpha$.

Примеры

• Для семейства окружностей одинакового радиуса с центрами на прямой огибающая состоит из двух параллельных прямых.
• Астроида является огибающей семейства отрезков постоянной длины, концы которых расположены на двух взаимно перпендикулярных прямых.
• Парабола является огибающей семейства срединных перпендикуляров для отрезков, соединяющих фиксированную точку (фокус параболы) и фиксированную прямую (директрису параболы).

Литература

• Залгаллер В.А. Теория огибающих, М.: Наука, 1975. 104 с.