Треугольная квантовая яма

Треугольная потенциальная яма — это один из наиболее простых потенциалов в квантовой механике допускающих точное решение задачи о движении заряда в электрическом поле. Основная её особенность состоит в том, что она возникает вследствие тривиального обрезания бесконечного 3D-пространства 2D-плоскостью.

Рассмотрим потенциальную энергию $U(x)$, представляемую в виде:

$U(x) = \begin{cases} eEx, & x \ge \; 0 \\ +\infty, & x < 0 \end{cases}$

где $x$- координата 3D-пространства, вдоль которой проводится его обрезание плоскостью при $x = 0$, $e$- заряд электрона, $E$- напряжённость электрического поля, определяющая потенциальную энергию.

Равнение уравнения Шрёдингера в данном одномерном случае можно записать в виде:

$\frac{d^2\psi}{dx^2} + \frac{2m}{\hbar \;^2}(W - eEx)\psi = 0.$

Для упрощения дальнейшего рассмотрения введём безразмерную переменную в виде:

$\xi = (-x + \frac{W}{eE})(\frac{2meE}{\hbar \;^2})^{1/3}.$

В результате, получим уравнение Шрёдингера, которое зависит от параметра энергии:

$\psi''(\xi) + \xi \psi (\xi)= 0.$

Решение данного уравнение есть

$\psi(\xi) = A\Phi(-\xi),$

где функции Эйри определённые следующим образом:

$\Phi(\xi) = \frac{1}{\sqrt{\pi}}\int\limits_{0}^{+\infty} \cos \left({\frac{u^3}{3} + u\xi}\right) \, du$

При движении в неограниченном пространстве уже есть определённая постоянная интегрирования $A$:

$A = \frac{(2m)^{1/3}}{\pi^{1/2}(eE)^{1/6}\hbar \;^{2/3}}$.

Основное отличие данной задачи состоит в том, что при $x = 0$ потенциальная энергия стремительно растёт, и мы должны для сшивания волновых функций использовать условие:

$\psi(\xi_j) = 0,$

где $\xi_j$ — корни функции Эйри. Можно привести первые 5 значений этих корней: $\xi_1 = 2,33810741$, $\xi_2 = 4,08794944$, $\xi_3 = 5,52055983$, $\xi_4 = 6,78670809$, $\xi_5 = 7,94413359$.

В результате, мы получили дискретный спектр энергий для треугольной потенциальной ямы в виде:

$W_j = \xi_j \big[\frac{eE\hbar \;}{\sqrt{2m}} \big]^{2/3}$

Поскольку между потенциальной энергией и дискретным спектром справедливо следующее соотношение в узловых точках:

$U(x_j) = eEx_j = W_j$

поэтому можно обнаружить значение координаты $x_j$:

$x_j = \xi_j \big(\frac{\hbar \;^2}{2meE} \big)^{1/3}$

Широкое распространение данная задача приобрела при исследованиях 2D-систем электронного газа инверсных слоёв поверхности раздела диэлектрик — полупроводник.

Литература

• Андо Т., Фаулер А, Стерн Ф. Электронные свойства двумерных систем. Пер. с англ.- М.:Мир, 1985.- 416с.
• Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Квантовая механика. Нерелятивистская теория. Изд. 2-е.- М.:ГосИздат,1963.- 703с.

Ссылка

[1]

См. также

• Квантовое движение в электрическом поле
• Квантовое движение в прямоугольной потенциальной яме
• Осцилляции Зенера — Блоха
• Квантовый осциллятор