Репьюниты

Репью́ниты (англ. repunit, от repeated unit — повторённая единица) — натуральные числа $R(b, n)$, запись которых в системе счисления с основанием $b > 1$ состоит из одних единиц. В десятичной системе счисления репьюниты обозначаются $R_n$: $R_1 = 1$, $R_2 = 11$, $R_3 = 111$ и т. д., и общий вид для них:

$R_n = \frac{10^n-1}{9},\quad n = 1, 2, 3,\ldots$

Свойства

• Известно только 9 простых репьюнитов $R_n$ для n равных:

  2, 19, 23, 317, 1031, 49081, 86453, 109297, 270343 (последовательность A004023 в OEIS)

Очевидно, что индексы простых репьюнитов также являются простыми числами.

• В результате умножения $R_i \cdot R_j$ при $9 \ge i \ge j$ получается палиндромическое число вида $(12 \ldots j \ldots 21)$ из $i + j - 1$ цифр с цифрой $j$ посередине.

• Репьюнит 11 111 111 111 111 111 111 является самопорождённым числом.

• Всякое положительное кратное репьюнита $R_n$ содержит не менее n ненулевых цифр.

Литература

• Yates S. The mystique of repunits — Math. Mag., 1978, 51, 22—28.
• Ейтс С. Репьюниты и десятичные периоды — Мир, 1992.
• Кордемский Б. На часок к семейке репьюнитов // Квант. — 1997. — № 5. — С. 28—29.