- Аппроксимационная теорема Вейерштрасса
-
В математике аппроксимацио́нной теоремой Вейерштра́сса (Стоуна — Вейерштрасса) называют теорему, утверждающую, что для любой непрерывной функции на отрезке можно подобрать последовательность многочленов, равномерно сходящихся к этой функции на отрезке.
Содержание
Формулировка
Пусть
— непрерывная функция, определённая на отрезке
. Тогда для любого
существует такой многочлен
с вещественными коэффициентами, что для любого
из
выполнено условие
.[1]
Теорема справедлива и для комплекснозначных функций, но тогда коэффициенты полинома
следует считать комплексными числами.
Схема доказательства Вейерштрасса
Теорема была установлена Карлом Вейерштрассом в 1885 году[2] как следствие более общего утверждения:
Пусть
при каждом вещественном значении переменной
является однозначно определенной, вещественной и непрерывной функцией, абсолютное значение которой не превосходит некоторой границы... Пусть
обладает теми же свойствами, что и
, и к тому же нигде не меняет своего знака, удовлетворяет равенству
и для нее сходится интеграл
,
. Если положить
,
.
Из прямого доказательства сразу следует, что предел не только существует и равен
, но и что сходимость равномерная по
, меняющемся на любом конечном отрезке.
Взяв в качестве
,
видим, что
вполне определены при всех комплексных
и являются целыми функциями. Поэтому их можно равномерно в круге любого радиуса приблизить полиномами (одна из теорем Абеля). Отсюда сразу следует, что любую непрерывную функцию
можно равномерно приблизить полиномами на любом конечном интервале. Для установления теоремы в сформулированной выше форме достаточно заметить, что любую функцию, заданную и непрерывную на отрезке, можно непрерывно продолжить на всю вещественную ось.
Более того. Если к тому же
периодическая функция с периодом
, то
являются целыми периодическими функциями. Но тогда
является однозначной и голоморфной функцией в области
и, следовательно, разлагается в ряд Лорана
,
поэтому
, а значит и
можно приблизить тригонометрическими полиномами.
Произвольные функции и их аналитическое представление
В середине XIX века представление о функции как аналитическом выражении казалось полностью изжившим себя, а Анализ занимался произвольными функциями. Герман Ханкель определил их наиболее четко:
О функции
от
говорят, когда каждому значению переменной
, [лежащей] внутри некоторого интервала, соответствует определенное значение
; при этом не существенно, зависит ли
от
во всем интервале по одному закону, и может ли эта зависимость быть выраженной при помощи математических операций.[3]
Фраза «не существенно … может ли эта зависимость быть выраженной при помощи математических операций» призвана подчеркнуть, что не всякая функция может быть представлена при помощи аналитического выражения. В ответ на это Вейерштрасс и написал работу «Об аналитическом представлении так называемых произвольных функций», в которой было показано, что произвольная непрерывная функция суть предел полиномов. В дальнейшем выяснилось, что и самые «патологические» функции, например, функция Дирихле, допускают такого рода представления, но лишь с большим числом предельных переходов.
Другие применения
Согласно этой теореме, пространство непрерывных вещественно- или комплекснозначных функций на отрезке с равномерной нормой сепарабельно: пространство многочленов с рациональными или комплексно-рациональными коэффициентами является требуемым счётным всюду плотным подпространством.
См. также
- Теорема Данжуа — Лузина
- Аппроксимационная проблема Бернштейна
Ссылки
Категории:- Теория приближений
- Теоремы
- Математический анализ
Wikimedia Foundation. 2010.