Дифференциальное тождество Бьянки

Тензор Римана удовлетворяет следующему тождеству:

$(1) \qquad \nabla_i R^s_{\;rjk} + \nabla_j R^s_{\;rki} + \nabla_k R^s_{\;rij} = 0$

которое называется дифференциальным тождеством Бьянки или вторым тождеством Бьянки.

Доказательство с использованием специальной системы координат

Выберем на многообразии какую-то одну произвольную точку $P$ и докажем равенство (1) в этой точке. Поскольку точка $P$ произвольная, то отсюда будет следовать справедливость тождества (1) на всем многообразии.

В точке $P$ мы можем выбрать такую ​​специальную систему координат, что все символы Кристоффеля (но не их производные) превращаются в ноль в точке $P$. Тогда для ковариантных производных в точке $P$ имеем:

$(2) \qquad \nabla_i R^s_{\;rjk} = \partial_i R^s_{\;rjk}$

Поскольку

$(3) \qquad R^s_{\;rjk} = \partial_j \Gamma^s_{kr} - \partial_k \Gamma^s_{jr} + \Gamma^s_{jp} \Gamma^p_{kr} - \Gamma^s_{kp} \Gamma^p_{jr}$

то в точке $P$ имеем:

$(4) \qquad \nabla_i R^s_{\;rjk} = \partial_i \partial_j \Gamma^s_{kr} - \partial_i \partial_k \Gamma^s_{jr}$

Циклически переставляя в (4) индексы $ijk$ получим еще две равенства:

$(5) \qquad \nabla_j R^s_{\;rki} = \partial_j \partial_k \Gamma^s_{ir} - \partial_j \partial_i \Gamma^s_{kr}$

$(6) \qquad \nabla_k R^s_{\;rij} = \partial_k \partial_i \Gamma^s_{jr} - \partial_k \partial_j \Gamma^s_{ir}$

Легко видеть, что при добавлении равенств (4), (5) и (6) в левой части уравнения будет выражение (1), а в правой, учтя коммутативность частных производных, все слагаемые взаимно уничтожаются и мы получим ноль.

См. также

• Алгебраическое тождество Бьянки