Центральный биномиальный коэффициент

В математике n-й центральный биномиальный коэффициент определяется следующим выражением в терминах биномиальных коэффициентах

${2n \choose n} = \frac{(2n)!}{(n!)^2}$ для всех $n \geq 0$.

Они получили своё название в связи с тем, что они находятся в точности посередине чётных рядов в треугольнике Паскаля. Первые несколько центральных биномиальных коэффициентов выписаны ниже, начиная с n = 0:

1, 2, 6, 20, 70, 252, 924, 3432, 12870, 48620, … последовательность A000984 в OEIS

Свойства

Производящая функция:

$\frac{1}{\sqrt{1-4x}} = 1 + 2x + 6x^2 + 20x^3 + 70x^4 + 252x^5 + \cdots.$

По формуле Стирлинга получаем:

${2n \choose n} \sim \frac{4^n}{\sqrt{\pi n}}$ при $n\rightarrow\infty$.

Полезные ограничения:

$\frac{4^n}{\sqrt{4n}} \leq {2n \choose n} \leq \frac{4^n}{\sqrt{3n+1}}$ для каждого $n \geq 1$

Если нужна большая точность:

${2n \choose n} = \frac{4^n}{\sqrt{\pi n}}\left(1-\frac{c_n}{n}\right)$ где $\frac{1}{9} < c_n < \frac{1}{8}$ для всех $n \geq 1$.

С этим понятием тесно связаны т. н. числа Каталана, C_n. Их формула:

$C_n = \frac{1}{n+1} {2n \choose n} = {2n \choose n} - {2n \choose n+1}$ для каждого $n \geq 0$.

Можно взять небольшое обобщение центральных биномиальных коэффициентов: ${ m \choose {\lfloor \frac{m}{2} \rfloor} }$ Это утверждение — по сути своей, частный случай предыдущего, когда m = 2n, то есть, когда m чётно.

См. также

• Предположение Эрдёша о бесквадратности
• Central multinomial coefficients

Ссылки

• Центральный биномиальный коэффициент на PlanetMath (англ)
• Биномиальный коэффициент на PlanetMath (англ)
• Треугольник Паскаля на PlanetMath (англ)
• Числа Каталана на PlanetMath (англ)