Список пределов

Это список пределов и правил их вычисления для основных функций. В ниже перечисленных примерах a и b являются константами относительно x.

Общие свойства пределов

• Пусть $\lim_{x \to c} f(x) = L_1$ и $\lim_{x \to c} g(x) = L_2$. Тогда:

• • $\lim_{x \to c} \, [f(x) \pm g(x)] = L_1 \pm L_2$
  • $\lim_{x \to c} \, [f(x)g(x)] = L_1 \times L_2$
  • $\lim_{x \to c} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{L_1}{L_2}$, если $L_2 \ne 0$
  • $\lim_{x \to c} \, f(x)^a = L_1^a$, если число в правой части и все значения левой функции в окрестности т. x=c существуют.

• $\lim_{x \to c} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to c} \frac{f'(x)}{g'(x)}$, если $\lim_{x \to c} f(x) = \lim_{x \to c} g(x) = 0$, или $\lim_{x \to c} |g(x)| = +\infty$ (Правило Лопиталя)

• $\lim_{h\to 0}{f(x+h)-f(x)\over h}=f'(x)$ (определение производной)

• $\lim_{h\to0}\left(\frac{f(x+h)}{f(x)}\right)^\frac{1}{h}=\exp\left(\frac{f'(x)}{f(x)}\right)$

• $\lim_{h \to 0}{ \left({f(x(1+h))\over{f(x)}}\right)^{1\over{h}} }=\exp\left(\frac{x f'(x)}{f(x)}\right)$

Пределы, связанные с известными константами

$\lim_{x\to+\infty} \left(1+\frac{1}{x}\right)^x=e$ (константа Непера)

$\lim_{x\to+\infty} \left(1-\frac{1}{x}\right)^x=\frac{1}{e}$

$\lim_{n\to\infty} \frac{n}{\sqrt[n]{n!}}=e$

$\lim_{n\to \infty }\, 2^{n} \underbrace{\sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{2+\text{...} +\sqrt{2}}}}}_n= \pi$ (пи)

Простые функции

$\lim_{x \to c} a = a$

$\lim_{x \to c} x = c$

$\lim_{x \to c} P(x) = P(c)$, где $P(x)$ — многочлен.

$\lim_{x \to 0^+} \frac{1}{x^r} = +\infty$

$\lim_{x \to 0^-} \frac{1}{x^r} = -\infty$, если r нечётно, и $+\infty$, если r чётно.

Логарифмические и показательные функции

При $a > 1: \,$

$\lim_{x \to 0^+} \log_a x = -\infty$

$\lim_{x \to \infty} \log_a x = +\infty$

$\lim_{x \to -\infty} a^x = 0$

$\lim_{x \to \infty} a^x = +\infty$

Тригонометрические функции

$\lim_{x \to a} \sin x = \sin a$

$\lim_{x \to a} \cos x = \cos a$

$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$

$\lim_{x \to 0} \frac{1-\cos x}{x} = 0$

$\lim_{x \to 0} \frac{1-\cos x}{x^2} = \frac{1}{2}$

$\lim_{x \to n\pm 0} \tan \left(\pi x + \frac{\pi}{2}\right) = \mp\infty$, если n — целое число.

Пределы в районе бесконечности

$\lim_{x\to\infty}a/x=0$, при любом вещественном a.

$\lim_{x\to\infty}x/a=\begin{cases} \infty, & a > 0 \\ -\infty, & a < 0 \end{cases}$ и не существует при $a=0$.

$\lim_{x\to\infty}x^a=\begin{cases} \infty, & a > 0 \\ 1, & a = 0 \\ 0, & a < 0 \end{cases}$

$\lim_{x\to\infty}a^x=\begin{cases} \infty, & a > 1 \\ 1, & a = 1 \\ 0, & -1 < a < 1 \end{cases}$

$\lim_{x\to\infty}a^{-x}=\lim_{x\to\infty}1/a^{x}=0$ при любом $a > 1$

$\lim_{x\to\infty}\sqrt[x]{a}=\begin{cases} 1, & a > 0 \\ 0, & a = 0\end{cases}$ и не существует, если $a < 0$.

$\lim_{x\to\infty}\sqrt[a]{x}= \infty$ при любом $a > 0$

$\lim_{x\to\infty}\log x=\infty$

$\lim_{x\to0^+}\log x=-\infty$

Для улучшения этой статьи по математике желательно?: Добавить иллюстрации. Найти и оформить в виде сносок ссылки на авторитетные источники, подтверждающие написанное.