Ферми-газ

У этого термина существуют и другие значения, см. Ферми (значения).

Фе́рми-газ (или идеальный газ Фе́рми — Дира́ка) — газ, состоящий из частиц, удовлетворяющих статистике Ферми — Дирака, имеющих малую массу и высокую концентрацию. Например, электроны в металле. В первом приближении можно считать, что потенциал, действующий на электроны в металле, является постоянной величиной и благодаря сильному экранированию положительно заряженными ионами можно пренебречь электростатическим отталкиванием между электронами. Тогда электроны металла можно рассматривать как идеальный газ Ферми — Дирака.

Газ Ферми — Дирака при нулевой температуре

Самая низкая энергия классического газа (или газа Бозе — Эйнштейна) при $T=0$ равна $W_0=0$. То есть при нулевой температуре все частицы падают в самое низкое состояние и теряют всю свою кинетическую энергию. Однако, для газа Ферми это невозможно. Принцип исключения Паули позволяет находиться в одном состоянии только одной ферми-частице с полуцелым спином.

Самую низкую энергию газа $W_0$ с $N$ частиц можно получить путем размещения по одной частице в каждом из $N$ квантовых состояний с наименьшей энергией. Поэтому энергия $W_0$ такого газа при $T=0$ будет отличной от нуля.

Величину $W_0$ несложно вычислить. Обозначим через $\mu_0$ энергию электрона в самом высоком квантовом состоянии, которое ещё заполнено при $T=0$. При нулевой температуре все квантовые состояния с энергией ниже $\mu_0$ заняты, а все квантовые состояния с энергией выше $\mu_0$ — свободны.

Поэтому должно существовать ровно $N$ состояний с энергией ниже или равной $\mu_0$. Этого условия достаточно для нахождения $\mu_0$. Поскольку объём микроскопический, трансляционные состояния находятся близко один к другому в импульсном пространстве и мы можем заменить суммирование по трансляционным квантовым состояниям $\mathbf{k}$ интегрированием по классическому фазовому пространству, предварительно разделив на $h^3$:

$\frac{g}{h^3}\iint 4\pi p^2\,dr\,dp=V\frac{g}{h^3}\int 4\pi p^2\,dp,$

где $g$ — число внутренних квантовых состояний, которые соответствуют внутренней энергии. Число $g=2$, для электронов со спином 1/2. Интегрируя последнее выражение от $p=0$ до $p_0$, величины импульса самого высокого заполненного при $T=0$ состояния с энергией $\mu_0=(2m)^{-1}p_0^2$, и приравнивая результат к $N$, получаем с учетом того, что $\rho=N/V$:

$N=V\frac{g}{h^3}\frac{4\pi}{3}p_0^3=V\frac{g}{h^3}\frac{4\pi}{3}(2m\mu_0)^{3/2},$

$p_0=\left(\frac{3\rho}{4\pi g}\right)^{1/3}h,$

$\mu_0=\frac{p_0^2}{2m}=\frac{h^2}{2m}\left(\frac{3\rho}{4\pi g}\right)^{2/3}$

или для электронов с $g=2$:

$\mu_0=\frac{h^2}{8m}\left(\frac{3\rho}{\pi}\right)^{2/3},\quad g=2.$

Величину $\mu_0$, наивысшую энергию заполненных уровней, называют энергией Ферми.

Газ Ферми — Дирака при конечной температуре

Для ненулевых значений параметра $\beta=1/kT$ плотность числа электронов $N(\varepsilon)$ в энергетическом пространстве находим путем умножения квантовых плотностей состояний

$\frac{3}{2}N/\mu_0^{-3/2}\int\varepsilon^{1/2}\,d\varepsilon$

на множитель $\frac{1}{1+\exp[(\beta(\varepsilon-\mu)]}$, который даёт число электронов на одно квантовое состояние:

$N(\varepsilon)=\frac{3}{2}N/\mu_0^{-3/2}\frac{1}{1+\exp[\beta(\varepsilon-\mu)]},$

где величина $\mu_0$ — химический потенциал при $T=0$, а $\mu$ — химический потенциал при данной температуре.

Если проинтегрировать эту функцию по всем значениям $\varepsilon$, то можно определить $\mu$ как функцию от температуры.

Сравнивая результат, который входит в $\int\limits_0^\infty N(\varepsilon)\,d\varepsilon$ полного числа частиц $N$. Отсюда видно, что для $N(\varepsilon)$ величина $\mu$ есть функция параметров $\mu_0$ и $\beta$.

Энергию можно найти из соотношения:

$W=\int\limits_0^\infty\varepsilon N(\varepsilon)\,d\varepsilon,$

откуда видно, что тут мы встречаемся с задачей нахождения интеграла типа:

$I=\int\limits_0^\infty f(\varepsilon)g(\varepsilon)\,d\varepsilon,$

в котором функция $f(\varepsilon)$ есть некоторая простая и непрерывная функция от $\varepsilon$, например $\varepsilon^{1/2}$ или $\varepsilon^{3/2}$, и

$g(\varepsilon)=\frac{1}{1+\exp[\beta(\varepsilon-\mu)]}.$

Следует отметить, что величина $\mu_0/k$ имеет порядок от $5\cdot 10^4$ до $10^5$ К для большинства металлов.

Пропуская довольно громоздкие математические выкладки, в результате получим приблизительное значение химического потенциала:

$\mu=\mu_0\left[1-\frac{\pi^2}{12}(\beta\mu_0)^{-2}-\frac{\pi^4}{80}(\beta\mu_0)^{-4}+\ldots\right],$

которое выражает химический потенциал $\mu$ через параметры $\beta$ и $\mu_0$.

Тут следует отметить, что эта зависимость не очень сильная, например для комнатных температур первая добавка составляет достаточно малую величину — $(\beta\mu_0)^{-2}\approx 10^{-4}$. Поэтому на практике, при комнатных температурах химический потенциал практически совпадает с потенциалом ферми.

См. также

• Энергия Ферми

Литература

• Майер Дж., Гепперт-Майер М. Статистическая механика. — 2-е изд. перераб. — М.: Мир, 1980. — 544 с.

Ссылки

• A Fermi gas of atoms — physicsworld.com Apr 4, 2002
• Seiringer R. The Thermodynamic Pressure of a Dilute Fermi Gas / Commun. Math. Phys. — 261. — 2006. — pp. 729—758.
• Fermi gas goes superfluid — physicsworld.com Jul 22, 2004