Арифметическая прогрессия

У этого термина существуют и другие значения, см. Прогрессия.

Арифмети́ческая прогре́ссия — числовая последовательность вида

$a_1,\ a_1+d,\ a_1+2d,\ \ldots,\ a_1+(n-1)d, \ \ldots$,

то есть последовательность чисел (членов прогрессии), каждое из которых, начиная со второго, получается из предыдущего добавлением к нему постоянного числа $d$ (шага или разности прогрессии):

$a_n=a_{n-1} + d \quad$

Любой (n-й) член прогрессии может быть вычислен по формуле общего члена:

$a_n=a_1 + (n-1)d$

Арифметическая прогрессия является монотонной последовательностью. При $d>0$ она является возрастающей, а при $d<0$ — убывающей. Если $d=0$, то последовательность будет стационарной. Эти утверждения следуют из соотношения $a_{n+1}-a_n=d$ для членов арифметической прогрессии.

Свойства

Общий член арифметической прогрессии

Член арифметической прогрессии с номером $n$ может быть найден по формуле

$a_n=a_1+(n-1)d$, где $a_1$ — первый член прогрессии, $d$ — ее разность.

Доказательство

Пользуясь соотношением $a_{n+1}=a_n+d$ выписываем последовательно несколько членов прогрессии:

$a_2=a_1+d$

$a_3=a_2+d=a_1+d+d=a_1+2d$

$a_4=a_3+d=a_1+2d+d=a_1+3d$

$a_5=a_4+d=a_1+3d+d=a_1+4d$

Заметив закономерность, делаем предположение, что $a_n=a_1+(n-1)d$. С помощью математической индукции покажем, что предположение верно для всех $n \in \mathbb N$:

База индукции $(n=1)$ :

$a_1=a_1+(1-1)d=a_1$ — утверждение истинно.

Переход индукции:

Пусть наше утверждение верно при $n=k$, то есть $a_k=a_1+(k-1)d$. Докажем истинность утверждения при $n=k+1$:

$a_{k+1}=a_k+d=a_1+(k-1)d+d=a_1+kd$

Итак, утверждение верно и при $n=k+1$. Это значит, что $a_n=a_1+(n-1)d$ для всех $n \in \mathbb N$.

Характеристическое свойство арифметической прогрессии

Последовательность $a_1, a_2, a_3, \ldots$ есть арифметическая прогрессия $\Leftrightarrow$ для ее элементов выполняется условие $a_n=\frac{a_{n-1}+a_{n+1}}2, n \geqslant 2$.

Доказательство

Необходимость:

Поскольку $a_1, a_2, a_3, \ldots$ — арифметическая прогрессия, то для $n \geqslant 2$ выполняются соотношения:

$a_n=a_{n-1}+d$

$a_n=a_{n+1}-d$.

Сложив эти равенства и разделив обе части на 2, получим $a_n=\frac{a_{n-1}+a_{n+1}}2$.

Достаточность:

Имеем, что для каждого элемента последовательности, начиная со второго, выполняется $a_n=\frac{a_{n-1}+a_{n+1}}2$. Следует показать, что эта последовательность есть арифметическая прогрессия. Преобразуем эту формулу к виду $a_{n+1}-a_n=a_n-a_{n-1}$. Поскольку соотношения верны при всех $n \geqslant 2$, с помощью математической индукции покажем, что $a_2-a_1=a_3-a_2=\ldots =a_n-a_{n-1}=a_{n+1}-a_n$.

База индукции $(n=2)$ :

$a_2-a_1=a_3-a_2$ — утверждение истинно.

Переход индукции:

Пусть наше утверждение верно при $n=k$, то есть $a_2-a_1=a_3-a_2=\ldots =a_k-a_{k-1}=a_{k+1}-a_k$. Докажем истинность утверждения при $n=k+1$:

$a_{k+1}-a_{k}=a_{k+2}-a_{k+1}$

Но по предположению индукции следует, что $a_2-a_1=a_3-a_2=\ldots =a_k-a_{k-1}=a_{k+1}-a_k$. Получаем, что $a_2-a_1=a_3-a_2=\ldots =a_k-a_{k-1}=a_{k+1}-a_k=a_{k+2}-a_{k+1}$.

Итак, утверждение верно и при $n=k+1$. Это значит, что $a_n=\frac{a_{n-1}+a_{n+1}}2, n \geqslant 2 \Rightarrow a_2-a_1=a_3-a_2=\ldots =a_n-a_{n-1}=a_{n+1}-a_n$.

Обозначим эти разности через $d$. Итак, $a_2-a_1=a_3-a_2=\ldots =a_n-a_{n-1}=a_{n+1}-a_n=d$, а отсюда имеем $a_{n+1}=a_n+d$ для $n \in \mathbb N$. Поскольку для членов последовательности $a_1, a_2, a_3, \ldots$ выполняется соотношение $a_{n+1}=a_n+d$, то это есть арифметическая прогрессия.

Сумма первых $n$ членов арифметической прогрессии

Сумма первых $n$ членов арифметической прогрессии $S_n=a_1+a_2+ \ldots + a_n$ может быть найдена по формулам

$S_n=\frac{a_1+a_n}2 \cdot n$ , где $a_1$ — первый член прогрессии, $a_n$ — член с номером $n$, $n$ — количество суммируемых членов.

$S_n=\frac{2a_1+(n-1)d}2 \cdot n$ , где $a_1$ — первый член прогрессии, $d$ — разность прогрессии, $n$ — количество суммируемых членов.

Доказательство

Запишем сумму двумя способами:

$S_n=a_1+a_2+a_3+ \ldots +a_{n-2}+a_{n-1}+a_n$

$S_n=a_n+a_{n-1}+a_{n-2}+ \ldots +a_3+a_2+a_1$ — та же сумма, только слагаемые идут в обратном порядке.

Теперь прибавим оба равенства, последовательно прибавляя в правой части слагаемые, которые стоят на одной вертикали:

$2S_n=(a_1+a_n)+(a_2+a_{n-1})+(a_3+a_{n-2})+ \ldots +(a_{n-2}+a_3)+(a_{n-1}+a_2)+(a_n+a_1)$

Покажем, что все слагаемые (все скобки) полученной суммы равны между собой. В общем виде каждое слагаемое можно подать в виде $a_i+a_{n-i+1}, i=1,2,\ldots,n$. Воспользуемся формулой общего члена арифметической прогрессии:

$a_i+a_{n-i+1}=a_1+(i-1)d+a_1+(n-i+1-1)d=2a_1+(n-1)d, i=1,2,\ldots,n$

Получили, что каждое слагаемое не зависит от $i$ и равно $2a_1+(n-1)d$. В частности, $a_1+a_n=2a_1+(n-1)d$. Поскольку таких слагаемых $n$, то

$2S_n=(a_1+a_n)\cdot n \Rightarrow S_n=\frac{a_1+a_n}2 \cdot n$

Вторая формула для суммы получается подстановкой $2a_1+(n-1)d$ вместо $a_1+a_n$. Что и так непосредственно следует из выражения для общего члена.

Замечание:

Вместо $a_1+a_n$ в первой формуле для суммы можно взять любое из других слагаемых $a_i+a_{n-i+1}, i=2,3,\ldots,n$, так как они все равны между собой.

Сходимость арифметической прогрессии

Арифметическая прогрессия $a_1, a_2, a_3, \ldots$ расходится при $d\ne 0$ и сходится при $d=0$. Причем

$\lim_{n\rightarrow\infty} a_n=\left\{ \begin{matrix} +\infty,\ d>0 \\ -\infty,\ d<0 \\ a_1,\ d=0 \end{matrix} \right.$

Доказательство

Записав выражение для общего члена и исследуя предел $\lim_{n\rightarrow\infty} (a_1+(n-1)d)$, получаем искомый результат.

Связь между арифметической и геометрической прогрессиями

Пусть $a_1, a_2, a_3, \ldots$ — арифметическая прогрессия с разностью $d$ и число $a>0$. Тогда последовательность вида $a^{a_1}, a^{a_2}, a^{a_3}, \ldots$ есть геометрическая прогрессия со знаменателем $a^d$.

Доказательство

Проверим характеристическое свойство для образованной геометрической прогрессии:

$\sqrt{a^{a_{n-1}}\cdot a^{a_{n+1}}}= a^{a_n}, n\geqslant 2$

Воспользуемся выражением для общего члена арифметической прогрессии:

$\sqrt{a^{a_{n-1}}\cdot a^{a_{n+1}}}=\sqrt{a^{a_1+(n-2)d}\cdot a^{a_1+nd}}=\sqrt{a^{2a_1+2(n-1)d}}=\sqrt{(a^{a_1+(n-1)d})^2}=a^{a_1+(n-1)d}=a^{a_n}, n\geqslant 2$

Итак, поскольку характеристическое свойство выполняется, то $a^{a_1}, a^{a_2}, a^{a_3}, \ldots$ — геометрическая прогрессия. Ее знаменатель можно найти, например, из соотношения $q=\frac{a^{a_2}}{a^{a_1}}=\frac{a^{a_1+d}}{a^{a_1}}=a^d$.

Арифметические прогрессии высших порядков

Арифметической прогрессией второго порядка называется такая последовательность чисел, что последовательность их разностей сама образует простую арифметическую прогрессию. Примером может служить последовательность квадратов натуральных чисел:

0, 1, 4, 9, 16, 25, 36…,

разности которых образуют простую арифметическую прогрессию с разностью 2:

1, 3, 5, 7, 9, 11…

Аналогично определяются и прогрессии более высоких порядков. В частности, последовательность n-ных степеней образует арифметическую прогрессию n-го порядка.

Примеры

• Натуральный ряд $1, 2, 3, 4, 5, \ldots$ — это арифметическая прогрессия, в которой первый член $a_1=1$, а разность $d=1$.
• $1, -1, -3, -5, -7$ — первые 5 членов арифметической прогрессии, в которой $a_1=1$ и $d=-2$.
• Если все элементы некоторой последовательности равны между собой и равны некоторому числу $a$, то это есть арифметическая прогрессия, в которой $a_1=a$ и $d=0$. В частности, $\pi, \pi, \pi, \ldots$ есть арифметическая прогрессия с разностью $d=0$.
• Сумма первых $n$ натуральных чисел выражается формулой

$1+2+3+\ldots+n=\frac{n(n+1)}2$.

См. также

• Геометрическая прогрессия

Ссылки

• Арифметическая прогрессия // Энциклопедический словарь Брокгауза и Ефрона: В 86 томах (82 т. и 4 доп.). — СПб., 1890—1907.