Однопараметрическая подгруппа

Однопараметрическая подгруппа группы Ли $G$ над нормированным полем $k$ — аналитический гомоморфизм аддитивной группы поля $k$ в $G$, то есть такое аналитическое отображение $a:k \to G$, что

$a(s)a(t)=a(s+t)$, для всех $s,t\in k$

Однопараметрической подгруппой называется также образ этого гомоморфизма, который, собственно, и является подгруппой группы $G$.

Свойства

• Если $k=\R$, то уже из непрерывности гомоморфизма a следует его аналитичность.
• Если $k=\R$ или $\mathbb C$, то для любого касательного вектора $X\in T_eG$ к группе $G$ в её единице $e$ существует единственная однопараметрическая подгруппа $a:k\to G$, имеющая $X$ своим касательным вектором в точке $t=0$. При этом $a(t) = \exp tX$, $t\in k$, где $\exp: T_eG \to G$ — экспоненциальное отображение.
  • В частности, любая однопараметрическая подгруппа в полной линейной группе $G=GL(n,k)$ имеет вид $t\mapsto \exp tX$
• Если $G$ — вещественная группа Ли, снабжённая двусторонне инвариантной псевдоримановой метрикой или аффинной связностью, то однопараметрическая подгруппа группы $G$ — это геодезические, проходящие через единицу $e$.