метаматематика


метаматематика
раздел математической логики, изучающий основания математики, структуру математических доказательств и математических теорий с помощью формальных методов.
М. рассматривает формализованную теорию как множество некоторых конечных последовательностей символов, называемых фор-
мулами и термами, к которым добавляется множество операций, производимых над этими последовательностями. Формулы и термы, получаемые с помощью простых правил, служат заменой предложениям и функциям содержательной математической теории. Операции над формулами соответствуют элементарным шагам дедукции в математических рассуждениях. Формулы, соответствующие аксиомам содержательной теории, выступают в качестве аксиом формализованной теории. Формулы, которые могут быть выведены из аксиом посредством принятых операций, соответствуют теоремам содержательной теории.
Множество формул и множество термов, рассматриваемые как множества конечных последовательностей с операциями, в свою очередь, могут быть объектами математического исследования. В ранний период развития математической логики использовались в основном простые методы, исключались все нефинитные. Лидером этого направления был Д. Гильберт, полагавший, что с помощью простых методов М. удастся доказать непротиворечивость фундаментальных математических теорий. Однако теоремы К. Гёделя показали, что программа Гильберта неосуществима. Использование финитных методов для исследования формализованных теорий является естественным в силу их очевидного финитного характера. Но на практике ограничение методов доказательства элементарными методами значительно усложняет математические исследования. Поэтому для более глубокого проникновения в сущность формализованных теорий современная М. широко использует более сложные, нефинитные методы.
Множество термов любой формализованной теории является алгеброй, и множество всех формул также является алгеброй. После естественного отождествления эквивалентных формул множество всех формул становится решеткой (структурой), а именно: булевой алгеброй, псевдобулевой алгеброй, топологической булевой алгеброй и т. п. - в зависимости от типа логики, принимаемой в теории. Эти алгебры, в свою очередь, связаны с понятием поля множеств и топологического пространства. С этой точки зрения представляется естественным применение в М. методов алгебры, теории решеток (структур), теории множеств и топологии. В М. широко используется также гёделевский метод арифметизации и теория рекурсивных функций.
М. исследует вопросы непротиворечивости и полноты формализованных теорий; независимость аксиом; проблему разрешимости; вопросы определимости и погружения одних теорий в другие; дает точное определение понятия доказательства для различных формализованных теорий и доказывает теоремы о дедукции;изучает проблемы интерпретации формальных систем и их различные модели; устанавливает разнообразные отношения между формализованными теориями и т. п.

Словарь по логике. — М.: Туманит, изд. центр ВЛАДОС. . 1997.

Смотреть что такое "метаматематика" в других словарях:

  • метаматематика — метаматематика …   Орфографический словарь-справочник

  • Метаматематика — Метаматематика  раздел математической логики, изучаю­щий основания математики, структуру математических доказательств и математических теорий с помощью формальных методов. Термин «метаматематика» буквально означает «за пределами математики» …   Википедия

  • МЕТАМАТЕМАТИКА — (греч.). Философия математики. Словарь иностранных слов, вошедших в состав русского языка. Чудинов А.Н., 1910. МЕТАМАТЕМАТИКА греч., от meta, и математика. Философия математики. Объяснение 25000 иностранных слов, вошедших в употребление в русский …   Словарь иностранных слов русского языка

  • Метаматематика —         теория доказательств, теория доказательства, в широком смысле слова Метатеория математики, не предполагающая никаких специальных ограничений на характер используемых метатеоретических методов, на способ задания и объём исследуемой в М.… …   Большая советская энциклопедия

  • МЕТАМАТЕМАТИКА — см. Метатеория. Философская Энциклопедия. В 5 х т. М.: Советская энциклопедия. Под редакцией Ф. В. Константинова. 1960 1970 …   Философская энциклопедия

  • МЕТАМАТЕМАТИКА — совокупность математич. теорий, используемых при изучении формальных теорий (исчислений). М., относящаяся к изучению данной формальной теории, составляет то, что наз. метатеорией формальной теории. В близком смысле термин М. используется как… …   Математическая энциклопедия

  • метаматематика — метаматем атика, и …   Русский орфографический словарь

  • метаматематика — (1 ж) …   Орфографический словарь русского языка

  • метаматематика — метаматема/тика, и …   Слитно. Раздельно. Через дефис.

  • метаматематика — и, ж. Галузь методології і математики, що вивчає особливості математичних теорій засобами та методами математики й математичної логіки …   Український тлумачний словник

Книги



Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»

We are using cookies for the best presentation of our site. Continuing to use this site, you agree with this.