ЭПСИЛОН-РАЗЛОЖЕНИЕ


ЭПСИЛОН-РАЗЛОЖЕНИЕ
ЭПСИЛОН-РАЗЛОЖЕНИЕ

(e-разложение) - метод приближённого вычисления критических показателей в ста-тистич. физике [или аномальных размерностей в квантовой теории поля (КТП)] с помощью разложения корреляц. ф-ций и др. физ. величин вблизи критической точки (соответственно пропагаторов в пределе асимптотической свободы в КТП) по степеням малого параметра e = 4 - d, где d- размерность конфигурац. пространства (соответственно пространства-времени в КТП). В случае более сложных особенностей термодинамич. величин Э.-р. возможно в окрестности др. значений d (напр., вблизи трикритиче-ской точки возникает Э.-р. по степеням e=3- d). Э.-р. обычно строится в рамках вычислений по методу ренор-мализационной группы (РГ) с использованием теории возмущений и диаграммной техники фейнмановского типа или её температурного обобщения (в т. ч. для спиновых операторов). Нецелые размерности вводятся посредством аналитич. продолжения и обеспечивают регуляризацию соответствующих выражений в КТП. Для получения результатов, имеющих физ. смысл и сопоставимых с результатами экспериментов и численными аппроксимациями, Э.-р. рассматривают как экстраполяц. схему и в конце вычислений обычно полагают e=1. Э.-р. для шести кри-тич. показателей с точностью до 3-го порядка по степеням e см. в [Ма Ш., 1980]. Аналогично наряду с Э.-р. в методе РГ широко используются и др. разложения критич. показателей, напр. разложение по степеням 1/п (п - число компонент вектора квазиспина), в пределе п5127-4.jpg. эквивалентное т. <н. с ф е р и ч е с к о й м о д е л и (квазинепрерывному аналогу Изинга модели).

Корреляционная длина и параметр обрезания. В основе построения преобразований РГ для описания критических явлений лежит общая физ. идея существенного сокращения эфф. числа степеней свободы макроскопич. физ. системы (аналогично тому, как это имеет место в термо- или гидродинамике при переходе от микроскопич. к макроскопич. описанию). Условиями такого сокращения являются наличие в системе взаимодействий только с коротким радиусом, а также резкое возрастание к о р р е л я ц и о н н о й д л и н ы x (или, что то же, радиуса корреляции r0) вблизи критич. точки Т с; величина x характеризует мин. размер области, в к-рой свойства вещества в достаточной степени передают свойства макроскопич. образца. При больших значениях x весьма правдоподобной выглядит г и п о т е з а п о д о б и я (см. ниже), приводящая к явлению у н и в е рс а л ь н о с т и, т. е. независимости физ. свойств системы от деталей строения гамильтониана (в т. ч. от значений входящих в него констант связи разл. взаимодействий). Существенными оказываются лишь значения размерностей п и d, где п характеризует симметрию параметра порядка (т. е. число компонент вектора спина или квазиспина; см. Спиновый гамильтониан),a d- число измерений пространства дискретной решётки; соответственно все квазиспиновые модели подразделяются на к л а с с ы э к в и в а л е н тн о с т и (n, d )(рис. 1).

5127-5.jpg

Рис. 1. Основные области I, II, III на (n, d )-плоскости (n- число компонент спина; d- размерность решётки); I - "классическая" область (d>=4 )со значениями кри тических показателей в среднего поля приближении; II - область, где фазовый переход отсутствует ( Т с5127-6.jpg0); III-промежуточная область с соответствующими значениями критических показателей. Граница между облас тями II и III проходит через точки (0, 0), (1, 1) и (5127-7.jpg,2).

Уменьшение числа степеней свободы (в единице объёма) при описании критич. явлений проводится обычно посредством перехода от микроскопич. узельных, или "ячеечных", спинов к макроскопич. квазинепрерывным "блочным" спинам, определяемым как нек-рое среднее (разумеется, не в термодинамич. смысле) от bd дискретных ячеечных спинов. Здесь b>=1- целое число, указывающее, во сколько раз каждое из d рёбер гиперкубич. спинового "блока" превосходит постоянную исходной решётки. Описанная операция проводится столько раз, сколько необходимо, чтобы линейные размеры блока стали порядка x (очевидно, это вполне аналогично операции сглаживания или крупнозернистого усреднения, используемой, напр., в гидродинамике). С др. стороны, переход к блочным спинам, обладающим пространственным разрешением ~b, вполне эквивалентен удержанию в фурье-разложении по векторам k в первой Бриллюэна зоне обратной решётки фурье-компонент лишь с k<L, где L = 2pb-1 - п а р ам е т р о б р е з а н и я. Физически это соответствует пренебрежению коротковолновыми флуктуациями с k, превосходящими L, в непрерывном распределении спиновой плотности.

Преобразование Каданова и модель Гинзбурга - Ландау. При переходе от ячеечных к блочным спинам происходит также соответствующий переход от исходного ячеечного к блочному гамильтониану, к-рый осуществляется посредством п р е о б р а з о в а н и я К а д а н о в а (L. P. Kadanoff, 1966) К b, обладающего групповым свойством KsKb = Ksb и приводящего к эфф. зависимости параметров блочного гамильтониана от абс. темп-ры Т, внеш. магн. поля Н и т. п. Простейший и наиб. употребительный блочный гамильтониан описывает м о д е л ь Г и н з б у р г а - Л а нд а у (В. Л. Гинзбург, Л. Д. Ландау, 1958) (см. также Ландау теория ф а з о в ы х п е р е х о д о в). Соответствующий гамильтониан можно записать в одной из двух физически эквивалентных форм (см. ниже): как оператор (1), заданный на дискретном пространстве решётки, или как функционал (3) от неоднородного (но с учётом только длинноволновых флуктуации) пространственного распределения спиновой плотности. Именно,

5127-8.jpg

где блочный спин s х определён как полный спин блока, отнесённый к числу узлов (ячеек) в блоке bd ( х- радиус-вектор центра блока), 5127-9.jpg; слагаемое, пропорц. с в (1), описывает взаимодействие между блоками г р а д ие н т н о г о т и п а (штрих у знака суммы указывает, что суммирование идёт по 2d блокам у- ближайшим соседям блока х). Здесь h - внеш. магн. поле, коэф. а0, а2, a4 и с зависят от Т (как и возможные, в принципе, коэф. а6, a8, ... при более высоких чётных степенях спинов) и являются гладкими (несингулярными) ф-циями Т и др. параметров, в т. ч. и в самой критич. точке. Последнее свойство обусловлено короткодействующим характером исходного взаимодействия между ячеечными (а следовательно, и блочными) спинами, причём каждое слагаемое в 5127-10.jpg описывает локальные свойства и относится к конечному числу (~bd) спинов.

С др. стороны, учитывая, что величина

5127-11.jpg

описывает спиновую конфигурацию в масштабах вплоть до b~ L-1, имеем

5127-12.jpg

где 5127-13.jpg5127-14.jpg ; используя (2), можно записать (3) в наиб. часто применяемой форме (при а0 =0, h =0)с общепринятыми обозначениями а2 = r0, а4 = и:

5127-15.jpg

суммирование по i и j проводится от 1 до n, а модули всех волновых векторов под знаком суммы ограничены сверху величиной Л.

Масштабное преобразование и размерности. Наряду с построением блочной спиновой конструкции путём последовательного применения преобразования Каданова, при определении РГ для критич. явлений используется м а сш т а б н о е п р е о б р а з о в а н и е х5127-16.jpg х' = x/s (соответственно k5127-17.jpgk' = sk), при к-ром физ. система "сжимается" в s раз по каждому направлению. Тогда после двойного преобразования Каданова Ksb размер sb спиновых блоков вновь уменьшается до исходной величины b, однако в блочный гамильтониан войдут перенормированные спины s'x' =lssx/s, где ls = sa не зависит от s), так что lsls' = lss'. Вообще говоря, в связи с масштабными преобразованиями, принято вводить м а с ш т а б н ы е, или а н о м а л ь н ы е, р а з м е р н о с т и DA любых физ. величин А, характеризующих систему: А( х)5127-18.jpg А'(x') = sDAA(x/s)- в отличие от обычных, или к а н о н и ч е с к и х, р а з м е р н о с т е й dA , определяемых в связи с изменением характерного линейного размера L и [A] = [L-dA], причём в общем случае D А5127-19.jpgdA. Это различие обусловлено тем, что канонич. размерность определяется с учётом преобразования всех длин, тогда как при определении аномальной размерности, имеющей динамич. природу, предполагается, что в окрестности критич. точки преобразуется лишь единственный существенный параметр длины - радиус корреляции x5127-20.jpg при Т5127-21.jpg Т с (h = 0) (см. также Масштабная инвариантность), через к-рый и должны выражаться результаты всех масштабных преобразований (точнее, через безразмерную комбинацию s/x. Согласно гипотезе подобия, расходимость сингулярных величин вблизи Т с целиком обусловлена именно их зависимостью от x, на основании чего может быть получен ряд законов подобия, связывающих друг с другом критич. показатели и выражающих условия непротиворечивости разл. определений размерности одной и той же физ. величины.

Ренормализационная группа (РГ) для критических явлений. Сочетание описанных выше операций крупнозернистого разбиения и изменения масштаба определяет совокупность преобразований РГ {Rs, s>=1}, обладающих групповым свойством RsRs'=Rss' (точнее, полугрупповым, т. <к. для них не определено обратное преобразование). Окончательно преобразование Rs для РГ можно определить как преобразование m' = Rsm в т. н. п а р а м е т р и ч е с к о м или m -п р о с т р а н с т в е, где каждая точка m представляет собой набор параметров эфф. блочного гамильтониана, а совокупность преобразований {Rs} - семейство нек-рых "траекторий" в нём. В общем случае размерность пространства {m} превосходит размерность пространства параметров исходного ячеечного гамильтониана (r0, и, с )и растёт по мере роста числа преобразований РГ, однако обычно удаётся ограничиться подпространством основных (доминирующих) взаимодействий. Наиб. физ. интерес в методе РГ представляют н е п о д в и ж н ы е т о ч к и m*, инвариантные относительно преобразований симметрии Rs, т. е. обладающие свойством Rsm* =m* при нек-ром конечном s (а следовательно, и в пределе s5127-22.jpg). Для этих точек вводится понятие к р и т и ч е с к о й п о в е р х н о с т и, для к-рой 5127-23.jpg , так что с ростом s все её точки переходят в m*, а при достаточно больших s все точки Rsm. будут находиться достаточно близко к m*.

Основная физ. гипотеза, связывающая РГ с критич. явлениями (К. Вильсон, К. G. Wilson, 1971), состоит в том, что m( Т с,0)лежит на критич. поверхности неподвижной точки m*, т. е. lims->oo Rsm(Tc,0) = m*, тогда как при Т5127-24.jpg Т с, Н5127-25.jpg0 точка 5127-26.jpg не принадлежит критич. поверхности. В окрестности m* оператор Rs может быть линеаризован след, образом: если m= m* + dm (где dm в нек-ром смысле мало), то ур-ние m' = Rsm можно записать в виде dm' = RLsdm + О((dm)2), где RLs - линеаризованная часть оператора Rs, для к-рой существует набор собственных векторов (ортов) {ej} и собственных значений {rj(s)}, причём групповое свойство Rs обусловливает степенной вид зависимости rj(s) = s yj (yj- критич. показатель, не зависящий от s). Тогда 5127-27.jpg. Для произвольных точек m вводится понятие м а с ш т аб н ы х п о л е й gi(m), для к-рых gi(Rsm) = gi(m)syi; в частности, при m, близких к m*, имеем gi(m* + dm) = ti+O((dm)2). Вблизи критич. точки гамильтониан 5127-28.jpgможно представить в виде

5127-29.jpg,

где м а с ш т а б н ы е п е р е м е н н ы е (или о п е р а т о р ы) ci определяются как 5127-30.jpg (а в более общем случае - как сопряжённые к gi операторы 5127-31.jpg ). Масштабные поля (и соответствующие им операторы) наз. с у щ е с т в е н н ы м и, если у j>0 (rj -возрастает с ростом s), н е с у щ е с т в е н н ы м и, если yj<0 (rj убывает с ростом s), и п р о м е ж у т о ч н ы м и, если yj =0(rj не зависит от s). Число существенных параметров возрастает с понижением размерности d; кроме того, оно зависит от конкретного характера неподвижной точки m* [напр., вблизи гауссовой неподвижной точки (см. ниже) r'0 = r0s2. существен при всех d, u' = us4-d становится существенным при d<4, u'6 = u6s6-2d- при d<3, а при d<2возникает ещё ряд существенных параметров; параметр с' = с является промежуточным при любых d]. Соответственно вдоль существенных "осей" ej траектории "уходят" от точки m*, а вдоль несущественных- "подходят" (см., напр., рис. 2, 3) к ней (промежуточный случай нуждается в дополнит. исследовании); совокупность ортов, соответствующих "сходящимся" траекториям, образует подпространство, наз. о б л а с т ь ю п р и т я ж е н и я m* и являющееся частью критич. поверхности.

5127-32.jpg

Рис. 2. Гауссова неподвижная точка mG* со значениями параметров r0* = и* =0 и собственные векторы e1 и е2 оператора RSL на плоскости двух параметров (r0, и). Ли нии тока и стрелки указывают направления движения Rsm. с ростом s: a- устойчивая точка (d>4); б- неустойчи вая точка ( - 2<d<4).


5127-34.jpg

Рис. 3. Неустойчивая гауссова неподвижная точка mG* и устойчивая нетривиальная неподвижная точка 5127-33.jpg при d<4(d=4-e,e>0).



В окрестности m* действие преобразования РГ имеет вид

5127-35.jpg

где учтено, что ti- гладкие ф-ции Т, обращающиеся в нуль при T=Tc и h=0, так что ti(T}~At,t=( Т-Т с )/Т с, и введены обозначения x = |At|-v, v=1/y1>0, a y2<0- наибольшее из всех у i не= у1; при h5127-36.jpg0 вблизи Т с в правую часть (5) добавляется слагаемое hsyheh, причём обычно yh>0. Если кроме y1 и yh имеются ещё один или более существенных параметров, то неподвижная точка становится неустойчивой поликритической точкой (три-критической при одном дополнит. параметре, тетракрити-ческой при двух и т. д.). Неподвижная точка такого типа характеризуется т. <н. к р о с с о в е р н ы м п о к а з а т е л е м ji=yiv=yi/y1 (соответствующее слагаемое в (5) имеет вид ti|t1|-v при s=x=|t1|-v), показывающим, насколько существен параметр t1 при данной величине ti .

Одной из осн. задач в методе РГ является классификация и анализ устойчивости возможных неподвижных точек и нахождения связанных с ними критич. поверхностей, масштабных полей и их критич. показателей. С этой целью широко используются методы топологии и качественной теории дифференц. ур-ний для траекторий в m -простран-стве [т. <н. у р а в н е н и й К а л л а н а - С и м а н з и к а (С. G. Callan, К. Symanzik, 1970)], причём результаты удобно изображать с помощью "линий тока", указывающих направление движения разл. точек m -пространства под действием преобразований Rs.

Неподвижные точки, траектории и Э.-р. для модели Гинзбурга- Ландау. Наиб. простой, но практически важный случай применения метода РГ-модель Гинзбурга-Ландау, соответствующая случаю трёхмерного параметрич. пространства m= (r0, и, с). При условии фиксированного значения с преобразование Rs реализуется в нём посредством системы двух обыкновенных дифференц. ур-ний в двухпараметрич. плоскости (r0, и )в области малых значений r0, и и e = 4 - d:

5127-37.jpg

где l5127-38.jpgln s, р=16( п +2), q=16( п +8). Неподвижные точки системы (6) могут быть найдены из условия dr0/dl= = du/dl=0, а соответствующие пары критич. показателей (y1, y2)-cпомощью линеаризации этой системы вблизи неподвижных точек. Тривиальная, или г а у с с о в а, неподвижная точка m*G характеризуется значениями r*0 = u* = 0 и показателями y1=2, y2 =e; очевидно, m*G устойчива при d>4( у2<0)и неустойчива при d<4 (y2>0) (рис. 2), причём при d>4роль критич. поверхности выполняет прямая, направленная вдоль орта е2, а при d<m*G вообще отсутствует критич. поверхность. В случае d<4(e>0) устойчивой становится другая неподвижная точка-т. н. н е т р и в иа л ь н а я 5127-39.jpg, характеризуемая значениями 5127-40.jpg = - (p/2q)e<0 и 5127-41.jpg= e/q и критич. показателями у1=2-(p/q)e, y2=-e<0(рис. 3); очевидно, что при d>4.(e<0) неподвижная точка 5127-42.jpg, хотя формально и существует, но соответствует значению u<0 и потому не имеет физ. смысла.

В граничном случае d=4. обе неподвижные точки m*G и 5127-43.jpg сливаются в одну, двукратно вырожденную, причём степенные особенности корреляц. ф-ций сменяются при этом на логарифмические. Физ. смысл смены характера устойчивости точек m*G и 5127-44.jpg при переходе через значение d=4состоит в том, что при d>4. спиновые флуктуации слабо взаимодействуют друг с другом и критич. поведение описывается гауссовым приближением (эквивалентным среднего поля приближению), в к-ром осн. роль играет градиентное слагаемое с с5127-45.jpg0, соответствующее сильному взаимодействию соседних спиновых блоков. Однако при d<4влияние этих флуктуации становится существенным и величиной и, в принципе, нельзя пренебрегать, однако учитывать вклад соответствующего слагаемого в критич. свойства возможно лишь приближённо.

Построение Э.-р. для критич. показателей вблизи нетривиальной неподвижной точки 5127-46.jpg при d<4 [К. Вильсон, М. Фишер (К. G. Wilson, M. E. Fisher); 1972] в виде степенного ряда по e становится возможным благодаря тому, что и* = О(e), и для вычисления свободной энергии и корреляционных ф-ций может быть использована термодинамическая теория возмущений, в к-рой в качестве гамильтониана возмущения рассматривается входящее в правую часть (3) или (4) слагаемое, пропорциональное и и содержащее s4.

При построении Э.-р. с помощью формально расходящихся рядов теории возмущений используется хорошо разработанный аналог метода Фейнмана диаграмм для спиновых операторов. Так, напр., согласно ур-нию Дай-сона, корреляц. ф-ция G(k) = <s(k)s( -k)> имеет вид G-1(k)=G0-1(k) +S(k), где G0(k) - "свободная" корреляц. ф-ция в отсутствие взаимодействия ( и5127-47.jpg0); в критич. точке t = 0, G0-1(k)~k2, а массовый оператор S(k) в низших порядках по взаимодействию может быть разложен по степеням ln k:. С др. стороны, согласно результатам анализа по методу РГ, вблизи критич. точки G(k)~k-2+h(1+ О(k-y2), и для нахождения h = О(e2) возникает задача отделения "существенных" слагаемых, содержащих h в разложении G(k )по степеням ln k при k5127-48.jpg0,

5127-49.jpg

от "несущественных", возникающих благодаря наличию несуществ. переменной t2. с малым показателем у2 = О(e); для этого необходимо подобрать спец. вид ф-ции u(e) (обычно такой, чтобы обратить t2. в нуль). Очевидно, от выбора и(e), равно как и от величины и способа введения параметра обрезания L, согласно гипотезе универсальности, не должен зависеть окончательный результат; описанная процедура наз. исключением медленного переходного процесса или расширением критич. области (Вильсон, 1971).

Родственными Э.-р. в квантовой статистич. физике являются также разложения на малых расстояниях и на световом конусе для произведений локальных токов в КТП. Напр., произведения двух локальных токов J(x+l) и J(x-l) при малых пространственно-временных векторах l ведут себя след. образом:

5127-50.jpg

Здесь Ki(l)- сингулярные с -числовые коэффициенты; J'i(x) - нек-рые новые локальные токи, а член Q(l, x) несингулярен в точке l=0. Такого рода разложения позволяют исследовать асимптотику коэффициентов Ki(l) при l5127-51.jpg0 методами РГ. В частности, именно таким образом строится описание глубоко-неупругого рассеяния в квантовой хромодинамике (Вильсон, 1969).

Метод РГ для критич. явлений, в том числе Э.-р. до настоящего времени не имеет вполне надёжного матем. обоснования, а также к.-л. однозначной реализации. Существует ряд подходов, основанных на использовании теории возмущений, рекуррентных ф-л, дифференц. ур-ний и т. п., каждый из к-рых обладает своими преимуществами и недостатками. Однако в целом метод РГ наиб. предпочтителен для анализа критич. явлений, т. к. в отличие от прямых методов вычисления статистич. суммы и корреляц. ф-ций преобразования РГ действуют в пространстве несингулярных величин и предоставляют широкие возможности для построения аппроксимаций, в т. ч. прямых численных расчётов с использованием ЭВМ.

Лит.: Вильсон К., Когут Дж., Ренормализационная группа и e-разложение, пер. с англ., М., 1975; Ландау Л. Д., Лиф-шиц Е. М., Статистическая физика, ч. 1, 3 изд., М., 1976, p 147; Паташинский А. 3., Покровский В. Л., Флуктуационная теория фазовых переходов, 2 изд., М., 1982; Pfeuty P., Toulouse G., in: Introduction to the renormalization group and to the critical phenomena, L.- N. Y., 1977; Ma Ш,, Современная теория критических явлений, пер. с англ., М., 1980; Изюмов Ю. А., Скрябин Ю. Н., Статистическая механика магнитоупорядочен-ных систем, М., 1987. Ю. Г. Рудой.

Физическая энциклопедия. В 5-ти томах. — М.: Советская энциклопедия. . 1988.


.