ФУРЬЕ-ОПТИКА


ФУРЬЕ-ОПТИКА
ФУРЬЕ-ОПТИКА

-раздел оптики, в к-ром преобразование световых полей оптич. системами исследуется с помощью фурье-анализа (спектрального разложения) и теории линейной фильтрации. Начало использования в оптике идей спектрального разложения связано с именами Дж. Рэлея (J. Rayleigh) и Э. Аббе (Е. Abbe). Первые работы, к-рые легли в основу совр. Ф.-о., принадлежат Мандельштаму [1], Горелику [2], Рытову [3]. В последней проводится аналогия между задачами радиоэлектроники и теории связи, с одной стороны (в к-рых речь идёт о преобразовании сигналов-ф-ций времени-изменяющихся токов, напряжений и т. д. и о системах радиоэлектроники, регистрирующих эти преобразования), и задачами оптики- с другой, в к-рых рассматривается преобразование световых полей-ф-ций координат-оптич. системами.

Общность методов исследования систем, служащих для преобразования сигналов - ф-ций времени (временных фильтров), и оптич. систем, служащих для преобразования световых полей - ф-ций координат (пространств. фильтров), обусловлена общностью закономерностей, управляющих процессами в системах радиоэлектроники и оптики, общностью, заложенной в универсальности максвеллов-ских ур-ний электродинамики. И тем и другим системам присущи (в достаточно широкой области применений) такие фундаментальные свойства, как линейность и инвариантность. Это позволяет удобно и просто описывать их поведение единым образом, используя универсальный аппарат теории линейной фильтрации и преобразования Фурье.

5078-28.jpg

Основные понятия и соотношения Ф.-о. В радиоэлектронике систему, преобразующую сигналы, принято изображать в виде схемы (рис. 1, а), где внеш. воздействие f(t) есть входной сигнал фильтра, а результат этого воздействия g(t) - выходной сигнал (или отклик) фильтра. Примером временного фильтра является колебат. контур (рис. 1, б), в к-ром внеш. эдс - входной сигнал, а возникающие изменения напряжения на обкладках конденсатора- отклик фильтра. Тот факт, что ф-ция g(t )является откликом на входное воздействие f(t), записывают в виде операторного равенства

5078-29.jpg

Волновые (в частности, оптические) явления характеризуются как временной зависимостью, так и пространственной, т. е. зависимостью от координат. В Ф.-о. интерес представляет именно пространств. структура волны, к-рая описывается (в случае гармонич. волн фиксированной частоты w) комплексной амплитудой волны f(x, у, z), являющейся решением ур-ния Гельмгольца:

5078-30.jpg

(k = w/c- волновое число). [Комплексная амплитуда, определяющая распределение амплитуд и фаз колебаний является входным и выходным сигналом когерентной оптич. системы. При некогерентном освещении говорят о картинах интенсивности (а не об амплитудах) во входной и выходной плоскостях.]

5078-31.jpg

В процессе распространения волны через оптич. систему её пространств. структура изменяется. Такая система рассматривается как пространственный фильтр, преобразующий входной сигнал (комплексную амплитуду волны во входной плоскости оптич. системы) в выходной сигнал (комплексную амплитуду волны в выходной плоскости оптич. системы). На рис. 2 представлена схема пространств. фильтра ( а )и пример простейшей оптич. системы ( б), где f(x, у) - комплексная амплитуда волны во входной плоскости П 0, g(x, у) - комплексная амплитуда в выходной плоскости П 1. Соответствующее операторное равенство имеет вид

5078-32.jpg

В радиоэлектронике свойства линейного фильтра характеризуются импульсным откликом h(t, t) - откликом фильтра на входной d-импульс:

5078-33.jpg

Здесь h(t,t) - ф-ция времени t, параметр t указывает, что речь идёт об отклике на d-импульс, возникающий на входе в момент времени t = t.

Аналогом d-импульса, возбуждающего колебания в линейном фильтре, в задачах пространств. фильтрации является точечный источник света d(x -x, у -h), расположенный в точке x = x, у =hвходной плоскости ху. При этом в выходной плоскости возникает нек-рое световое поле с комплексной амплитудой h(x, у;x, h), являющейся ф-цией координат х, у ввыходной плоскости. Поле h(x, у;x, h) наз. ф у н к ц и е й р а с с е я н и я т о ч к и и является аналогом импульсного отклика линейного временного фильтра.

Временные фильтры подчиняются принципу причинности: сигнал на выходе фильтра не может появиться раньше входного сигнала, импульсный отклик h(t,t) отличен от нуля лишь при t>=t. Различие в физ. смысле переменных (времени t и координат х, у )приводит к важному различию временных и пространств. фильтров: принцип причинности в задачах пространств. фильтрации не выполняется: точечный источник света, расположенный в начале координат х =0, у =0входной плоскости, приводит к возникновению светового поля в выходной плоскости как при х, <у>0, так и при х, <у<0.

Если изменение момента появления d-импульса на входе не меняет вид ф-ции импульсного отклика, а лишь сдвигает её во времени h(t,t) = h(t -t), то временной фильтр наз. с т а ц и о н а р н ы м. Примером является колебат. контур с постоянными, не зависящими от времени параметрами L, С, R.

Аналогичное свойство пространств. фильтра наз. и з о-п л а н а т и ч н о с т ь ю: сдвиг точечного источника во входной плоскости приводит лишь к сдвигу ф-ции рассеяния в выходной плоскости:

5078-34.jpg

Как правило, изопланатичность оптич. систем выполняется лишь при малых значениях параметров x, h. Стационарный временной фильтр, а также изопланатичный пространств. фильтр наз. и н в а р и а н т н ы м и ф и л ь т р а м и.

Если известен импульсный отклик временного линейного фильтра, то задача фильтрации (нахождение отклика по заданному входному сигналу) решается с помощью интеграла суперпозиции:

5078-35.jpg

Аналогично решается задача пространственной фильтрации- нахождение комплексной амплитуды волны в выходной плоскости по заданному полю во входной плоскости:

5078-36.jpg

Если речь идёт об инвариантных фильтрах, то вместо (2) и (3) имеем

5078-37.jpg

Интегральная операция в (4) или (5)наз. свёрткой функций f(t) и h(t )в (4) или д в у м е р н о й свёрткой ф-ций f(x, у п(х, у )в (5). Символически операции свёртки (4) и (5) записываются в виде

5078-38.jpg

Инвариантность линейных фильтров позволяет перейти к спектральному описанию. Используя известную теорему фурье-анализа о фурье-образе свёртки, связь между спектрами (фурье-преобразованиями) входного и выходного сигналов можно записать в виде

5078-39.jpg

где 5078-40.jpg -частотная характеристика временного фильтра, а Н(и,u) - частотная характеристика пространств. фильтра, являющаяся фурье-преобразова-нием ф-ции рассеяния точки:

5078-41.jpg

Одно из важнейших преимуществ спектрального подхода- простота операции, связывающей спектры сигналов на входе и выходе фильтра. Представление сигнала f(t) в виде интеграла Фурье

5078-42.jpg

имеет ясный физ. смысл: равенство (9) утверждает, что сигнал f(t )может быть представлен суммой гармонич. колебаний, причём спектр F(w) = A(w)ехр ij(w) определяет вклады гармоник разл. частот - их амплитуды A(w) и нач. фазы j(w).

Гармонич. колебания ехр iwt имеют особое значение в задачах линейной фильтрации: при возбуждении ими линейного стационарного фильтра в последнем возникают вынужденные гармонич. колебания той же частоты w. Др. словами, гармонич. ф-ции ехр iwt являются собств. ф-ци-ями линейной стационарной системы. Это можно записать в виде операторного равенства

5078-43.jpg

где H(w) = В(w)ехр ia(w)-частотная характеристика фильтра, определяющая амплитуду В(w) и сдвиг по фазе a(w) вынужденных колебаний относительно внеш. воздействия.

Пространственное фурье-разложение. Комплексную амплитуду волны f (х, у )можно представить в виде интеграла Фурье [двумерный аналог ф-лы (9)]:

5078-44.jpg

Физ. смысл разложения (11) состоит в следующем. Можно проверить, что ф-ция

5078-45.jpg

является решением ур-ния Гeльмгольца (1), удовлетворяющего на плоскости z = 0 граничному условию

5078-46.jpg

Это утверждение справедливо при любых значениях параметров и,u. Ф-ция (12) есть комплексная амплитуда плоской волны, причём параметры и,u - проекции волнового вектора k этой волны на оси х, у, если |u2 +u2|<= <=(w/c)2 = k2. Если же |u2 +u2|>k2, выражение (12) также является решением (1) и наз. н е о д н о р о д н о й в о л н о й (амплитуда волны спадает с ростом z экспоненциально, поскольку 5078-47.jpg -в этом случае мнимое число).

Т. о., выражение (11) есть представление произвольной волны, заданной в нек-рой плоскости z = const, в виде суперпозиции плоских волн, как бегущих, так и неоднородных.

Плоская волна ехр[i(ux + uy)] в задачах пространств. фильтрации является аналогом гармонич. колебания ехр iwt. Поэтому пару чисел и,uназ. пространственными частотами.

5078-50.jpg

Частотная характеристика свободного пространства. Участок свободного пространства между двумя плоскостями z = 0 и z = const > 0 (рис. 3) является простейшим пространств. фильтром. Согласно (12) и (13), распространение плоской волны между двумя плоскостями приводит лишь к появлению множителя ехр [i5078-48.jpg.], определяющего набег фазы волны (при |u2 +u2|<=k2 )или экспо-ненц. уменьшение амплитуды (при |u2 +u2|>k2). Это утверждение можно записать в виде операторного равенства:

5078-49.jpg


где Н(и,u) = ехр(i5078-51.jpg ) - частотная характеристика свободного пространства. Экспоненц. ф-ции ехр[i(ux+uy)] при любых ( и,u)являются, согласно (14), собственными ф-циями пространств. фильтра.

Пространственная модуляция. В радиоэлектронике модуляция сигнала записывается как операция перемножения модулируемого колебания f(t) и модулирующего сигнала m(t), в результате к-рой на выходе модулятора имеем модулированный сигнал g(t)=f(t)m(t). Различают два вида модуляции: амплитудную, когда m(t) - действительная положит. ф-ция a(t), и фазовую: m(t) = ехр ij(t). Если несущее (модулируемое) колебание - гармонич. ф-ция f(t) = = ехр iwt, то в первом случае на выходе имеем амплитуд-но-модулированное колебание g(t) = a(t)exp iwt, а во втором- колебание, модулированное по фазе g(t) = = ехр{i[wt+j(t)]}. Операцию модуляции изображают символически с помощью блок-схемы (рис. 4, а).

5078-52.jpg

Пространств. модуляция осуществляется в оптике с помощью тонких пластинок-транспарантов,- обладающих в разных точках разл. поглощательной способностью и (или) показателем преломления. При освещении пластинки плоской волной expi(ux +uy )это приводит к тому, что амплитуда волны на выходе из пластинки оказывается различной в разных точках (в соответствии с изменением поглощат. способности), т. е. имеем амплитудную модуляцию волны:

5078-53.jpg

Если пластинка имеет различный в разных точках показатель преломления п(х, <у)[или толщину h(x,y)], то набег фазы волны при прохождении пластинки оказывается в разных местах различным: j( х, y) = kn(x,y)h(x,у) - получается фазовая модуляция:

5078-54.jpg

В общем случае с помощью транспаранта осуществляется как амплитудная, так и фазовая пространств. модуляция.

Ф-ция m(x,y) = a(x,y)exp ij(x,y), определяющая характер пространств. модуляции и связывающая комплексную амплитуду волны на входе и выходе транспаранта g(x,y) == т (х, y)f(x, у), наз. ф-цией п р о п у с к а н и я (или модуляц. характеристикой) транспаранта. Операция пространств. модуляции изображается с помощью блок-схемы, изображённой на рис. 4( б). Для осуществления пространств. модуляции в оптике используют различного вида маски, пластинки, амплитудные и фазовые решётки.

Преобразование Фурье, осуществляемое линзой. Осн. элементом любого оптич. устройства является линза. Идеальная безаберрационная линза осуществляет фазовую модуляцию вида

5078-55.jpg

где f -фокусное расстояние линзы. В оптике пространств. спектральное разложение тесно связано со свойством линзы фокусировать параллельный пучок света: падающая на линзу плоская волна expi(ux+uy )с пространств. частотой ( и,u)фокусируется линзой в точку фокальной плоскости с координатами x=fu/k и y=fu/k (рис. 5). Падающая на линзу произвольная волна с комплексной амплитудой f(x,y )может быть представлена, согласно (11), суперпозицией плоских волн разных направлений (т. е. разных пространств. частот и,u), и каждая из плоских волн в этой суперпозиции фокусируется линзой в свою определ. точку фокальной плоскости, создавая в ней световое поле с амплитудой, пропорциональной амплитуде соответствующей волны, и с фазой, определяемой фазой соответствующей волны, т. е. создавая в ней колебание, пропорциональное величине F(kx/f, ky/f), где F(u,u) - преобразование Фурье ф-ции f( х, у). Т. о., световое поле, возникающее в фокальной плоскости линзы, представляет собой пространств. спектральное разложение волны, падающей на линзу.

5078-56.jpg


Теория Аббе формирования изображения (принцип двойной дифракции). На рис. 5 в качестве примера оптич. системы, формирующей изображение, приведена система, состоящая из двух линз Л 1 и Л 2 с общей фокальной плоскостью Ф; входной плоскостью П 0 (где размещается предмет) служит передняя фокальная плоскость линзы Л 1, а выходной плоскостью, где возникает изображение,- задняя фокальная плоскость линзы Л 2 - плоскость П t.

Формирование изображения в оптич. системе, согласно теории Аббе,- двухэтапный процесс. Первый этап (первая "дифракция")-это распространение света от входной плоскости до плоскости Ф, где формируется пространств. спектр предметной волны. На этом этапе линза Л 1 осуществляет первое пространств. фурье-преобразова-ние. Второй этап (вторая дифракция) - распространение света от плоскости Ф (к-рая наз. фурье-плоскостью оптич. системы) до плоскости изображения. На этом этапе линза Л 2 осуществляет ещё одно преобразование Фурье. В результате двух последоват. преобразований Фурье возникает перевёрнутое изображение-поле с комплексной амплитудой g(x,y)=f(-x, -у), тождественное с точностью до инверсии предметному полю f (х, у).

Частотная характеристика оптической системы формирования изображения. Описанная выше оптич. система является идеальной: изображение, тождественное предмету, создаётся системой с частотной характеристикой 5078-57.jpg

В действительности же оптич. система вносит искажения. Принципиальными являются дифракц. искажения, обусловленные конечностью размеров линз. Влияние конечных размеров линз моделируется диафрагмой, расположенной в фурье-плоскости оптич. системы (рис. 6) (диаметр диа-

5078-58.jpg

фрагмы D равен диаметру меньшего из объективов). В формировании изображения в такой модели принимают участие лишь те плоские волны, к-рые фокусируются линзой Л 1 внутрь диафрагмы, т. е. волны с пространств. частотами

5078-59.jpg

Эти волны приходят к плоскости изображения П 2 без искажений по амплитуде и фазе. Все прочие волны, задерживаясь диафрагмой, не достигают плоскости изображения, т. е. оптич. система имеет частотную характеристику:

5078-60.jpg

(т. н. дифракционно-ограниченная система). Ф-ция рассеяния [обратное фурье-преобразование ф-ции (15)] имеет вид

5078-61.jpg (одномерный случай);

5078-62.jpg (круглая диафрагма).

Принцип корреляционной фильтрации. Т. к. плоские волны разных пространств. частот, фокусируясь линзой Л 1 в разные точки фурье-плоскости, пространственно разделяются, то можно избирательно воздействовать на разл. пространств. гармоники. Если маленькую пластинку-транспарант, вносящую определ. поглощение и (или) определ. фазовую задержку, поместить в точку ( х, у )фурье-плоскости, то эта пластинка изменит амплитуду и (или) фазу только той плоской волны, к-рая в эту точку фокусируется (т. е. волны с частотой u= kx/f,u=ky/f). При этом все др. волны достигают плоскость изображения без искажений по амплитуде и фазе. Помещая в фурье-плоскость разл. маски-транспаранты, можно непосредственно влиять на пространств. спектр изображения.

Маска с ф-цией пропускания т(х, <у), помещённая в фурье-плоскость, приводит к частотной характеристике

5078-63.jpg

Метод управления частотной характеристикой оптич. системы с помощью транспарантов, устанавливаемых в фурье-плоскости, наз. принципом корреляц. фильтрации. С его помощью решаются разнообразные задачи, такие, как улучшение разрешающей способности оптич. системы, связанное, напр., с сужением гл. максимума ф-ции рассеяния; уменьшение боковых лепестков ф-ции рассеяния (апо-дизация), выполняемое с помощью т. н. мягких диафрагм- плавного уменьшения пропускаемости диафрагмы от центра к краям (напр., по линейному закону); устранение пространственно-периодич. шума в изображении; апостериорная обработка изображений.

С помощью оптич. системы можно совершать ряд ма-тем. преобразований. Для этого ф-ция, подлежащая преобразованию (в общем случае ф-ция двух переменных), записывается в виде комплексной пропускаемости транспаранта, к-рый располагается во входной плоскости. При освещении такого транспаранта параллельным пучком лазера получаем на выходе транспаранта требуемое поле f(x,y), преобразуемое затем в оптич. системе. Таким способом можно проводить двумерное преобразование Фурье, операции свёртки и корреляции, дифференцирование ф-ций одной переменной с помощью частотной характеристики H(u) = iu[1] и т. д. Многоканальный анализатор спектра, выполняемый с помощью комбинации сфе-рич. и цилиндрич. линз, позволяет проводить одномерное преобразование Фурье в большом числе каналов одновременно.

Преобразование пространственно-случайных (спекл-по-лей) в оптических системах. Из теории фильтрации случайных сигналов линейными колебат. системами хорошо известна связь между спектрами мощности (фурье-образами корреляц. ф-ций) сигналов на входе и выходе фильтра Gk(w) = Fk(w)|H(w)|2, где H(w)-частотная характеристика фильтра. Аналогичное равенство справедливо для решения задачи фильтрации спекл-полей в оптич. (пространств.) фильтрах:

5079-1.jpg

где Gk(u, u)и Fk(u,u) - пространств. спектры мощности (фурье-образы автокорреляц. ф-ций) спекл-полей во входной и выходной плоскостях оптич. системы.

В соответствии с (16) управление характеристиками системы для фильтрации спекл-полей осуществляется с помощью амплитудных транспарантов.

Некогерентные оптические системы. В некогерентных системах входным и выходным сигналами являются интенсивности света I вx ( х, уI вых ( х, у )во входной и выходной плоскостях. Связь между ними определяется равенством

5079-2.jpg

(при выполнении условия изопланатичности).

Из (17) следует связь между нормированными спектрами (фурье-преобразованиями) ф-ций I вх ( х, уI вых ( х, у):

5079-3.jpg

где J вх(u, u)и J вых(u, u)-фурье-образы ф-ций J вх(x, уI вых(x, y); 5079-4.jpg(u, u)- п е р е д а т о ч н а я ф у н к ц и я оптич. системы, определяющая свойства некогерентной оптич. системы.

Связь между когерентной частотной характеристикой H (и,u)и передаточной ф-цией оптич. системы 5079-5.jpg( и, u)для одномерного случая имеет вид

5079-6.jpg

Возможности использования идей и методов Ф.-о. существенно расширяются с применением динамически управляемых ячеек и транспарантов, располагаемых в фурье-плоскости оптич. системы: жидких кристаллов, ультразвуковых ячеек, эл.-оптич. ячеек Керра и т. д.

Лит.: Горелик Г. С., Колебания и волны, 2 изд., М., 1959; Рытов С. М., О методе фазового контраста в микроскопии, "УФН", 1950, т. 41, в. 4, с. 425; О'Нейл Э., Введение в статистическую оптику, пер. с англ., М., 1966; Строук Дж., Введение в когерентную оптику и голографию, пер. с англ., М., 1967; Гудмен Дж., Введение в фурье-оптику, пер. с англ., М., 1970; его же, Статистическая оптика, пер. с англ., М., 1988; Сороко Л. М., Основы голографии и когерентной оптики, М., 1971; Папулис А., Теория систем и преобразований в оптике, пер. с англ., М., 1971; Мандельштам Л. И., Лекции по оптике, теории относительности и квантовой механике, М., 1972; Зверев В. А., Радиооптика, М., 1975; Юу Ф., Введение в теорию дифракции, обработку информации и голографию, пер. с англ., М., 1979. Г. Р. Лакшин.


Физическая энциклопедия. В 5-ти томах. — М.: Советская энциклопедия. . 1988.


.

Смотреть что такое "ФУРЬЕ-ОПТИКА" в других словарях:

  • ЭЛЕКТРОННАЯ И ИОННАЯ ОПТИКА — раздел физики, в к ром изучают законы распространения пучков за ряж. частиц электронов и ионов в макроскопич. магн. и электрич. полях и вопросы их фокусировки, отклонения и формирования изображений. Развитие электронной оптики (ЭО) началось с… …   Физическая энциклопедия

  • НЕЛИНЕЙНАЯ ОПТИКА — раздел оптики, охватывающий исследования распространения мощных световых пучков в тв. телах, жидкостях и газах и их вз ствия с в вом. Сильное световое поле изменяет оптич. хар ки среды (показатель преломления, коэфф. поглощения), к рые становятся …   Физическая энциклопедия

  • Нелинейная оптика —         раздел физической оптики, охватывающий исследование распространения мощных световых пучков в твёрдых телах, жидкостях и газах и их взаимодействие с веществом. С появлением Лазеров оптика получила в своё распоряжение источники когерентного …   Большая советская энциклопедия

  • ЧАСТОТНО-КОНТРАСTНАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА — (ЧКХ; пространственно частотная характеристика, просто частотная характеристика) ф ция, характеризующая исчерпывающим образом способность оптич. системы передавать детали объекта в формируемом ею изображении, если оптич. система удовлетворяет… …   Физическая энциклопедия

  • Дифракционная решётка — У этого термина существуют и другие значения, см. Решётка. Очень большая отражательная дифракционная решётка. Дифракционная решётка  оптический прибор, работающий по принципу дифракции света, предс …   Википедия

  • Дифракционная решетка — Очень большая отражательная дифракционная решётка. Дифракционная решётка оптический прибор, работающий по принципу дифракции света, представляет собой совокупность большого числа регулярно расположенных штрихов (щелей, выступов), нанесённых на… …   Википедия

  • Квантовая теория поля — Эту статью следует викифицировать. Пожалуйста, оформите её согласно правилам оформления статей. Квантовая теория поля (КТП) раздел физики, изучающий поведение квантовых систем с бесконечно большим числом степ …   Википедия

  • Спектр — У этого термина существуют и другие значения, см. Спектр (значения). Спектр (лат. spectrum «видение») в физике  распределение значений физической величины (обычно энергии, частоты или массы). Графическое представление такого… …   Википедия

  • Физика твёрдого тела — Физика твёрдого тела  раздел физики конденсированного состояния, задачей которого является описание физических свойств твёрдых тел с точки зрения их атомарного строения. Интенсивно развивалась в XX веке после открытия квантовой механики.… …   Википедия

  • Электродинамика сплошных сред —     Электродинамика сплошных сред Электродинамика сплошных сред …   Википедия

Книги

Другие книги по запросу «ФУРЬЕ-ОПТИКА» >>


Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»

We are using cookies for the best presentation of our site. Continuing to use this site, you agree with this.