ОБРАТНОЙ ЗАДАЧИ РАССЕЯНИЯ МЕТОД


ОБРАТНОЙ ЗАДАЧИ РАССЕЯНИЯ МЕТОД
ОБРАТНОЙ ЗАДАЧИ РАССЕЯНИЯ МЕТОД
- метод исследования нек-рых нелинейных уравнений математическойфизики. Введён К. Гарднером (С. S. Gardner), Дж. Грином (J. М. Greene),М. Крускалом (М. D. Kruskal) и Р. Миурой (R. М. Miura) в 1967, хотя отд. <элементы метода были известны ещё в 19 в. (см. Беклунда преобразование). Основанна представлении исследуемого нелинейного ур-ния в виде условия совместностидля системы линейных ур-ний. Первонач. вариант метода, использующий теориюрассеяния для дифференц. операторов (отсюда назв. метода), был применёнк Кортевега - де Фриса уравнению

15009-1.jpg

к-рое является условием совместности переопределённойлинейной системы ур-ний

15009-2.jpg

15009-3.jpg

и эквивалентно операторному соотношению(представлению Лакса)

15009-4.jpg

Ур-ние (2) - стационарное одномерное Шрёдингерауравнение с потенциалом и(х, t), зависящим от времени t какот параметра [предполагаем, что и(х, t )достаточно быстро убываетпри 15009-5.jpg ].
Основные понятия. Волновые ф-ции 15009-6.jpgсоответствующие непрерывному спектру оператора 15009-7.jpgопределим асимптотич. выражениями

15009-8.jpg

Из представления (4) следуют соотношения

15009-9.jpg

Ф-ция 15009-10.jpgимеет смысл амплитуды рассеяния назад, ф-ция 15009-11.jpg- амплитуды рассеяния вперёд. Ф-ция 15009-12.jpgаналитична и имеет на верх. мнимой полуоси конечное число нулей 15009-13.jpgопределяющих дискретный спектр оператора Шрёдингера 15009-14.jpgПоложение нулей не зависит от времени. Собств. ф-ции дискретного спектра 15009-15.jpgопределим нормировкой 15009-16.jpg15009-17.jpgпри 15009-18.jpg тогда 15009-19.jpgпри х--> -15009-20.jpgИз ф-л (5) следует, что

15009-21.jpg

Рассмотрим интегральное уравнение Гельфанда- Левитана - Марченко для ф-ции К (х,z), позволяющей решить обратнуюзадачу рассеяния:

15009-22.jpg

здесь

15009-23.jpg

15009-24.jpg

При помощи ф-лы и(х)=2dK(x,x)/dx можно восстановить потенциал в ур-нии Шрёдингера (2) по наборут. н. данных рассеяния, т. е. величин 15009-25.jpg с п. При физически очевидных предположениях 15009-26.jpg М 2n эта задача однозначно разрешима.
Вместо данных рассеяния можно говоритьо функции 15009-28.jpg
О. з. р. м. основан на соотношениях (5),(6), определяющих зависимость данных рассеяния от времени и позволяющихрешать задачу Коши для ур-ния (1) по схеме

15009-29.jpg

На I этапе решается прямая задача рассеяния, <на III этапе - обратная. Для эфф. решения этих задач, вообще говоря, необходимычисленные расчёты. Достоинство О. з. р. м. состоит в том, что он позволяетсколь угодно далеко продвинуться по времени без потери точности.
При 15009-30.jpgур-ние (7) сводится к системе N линейных алгебраич. ур-ний и егорешение выражается в элементарных ф-циях. Это решение описывает взаимодействие . уединённых волн ( солитонов )и наз. N -солитонным. Прилюбом t профили. N -солитонных решений представляют собойпо отношению к ур-нию Шрёдингера безотражат. потенциалы (потенциалы Баргмана),на к-рых не происходит отражения назад.
Описанный вариант О. з. р. м. можно рассматриватькак нелинейный аналог метода разделения переменных при решении задачи Кошидля линейных эволюц. ур-ний (напр., диффузии уравнения). Этот вариантметода можно использовать также для решений ур-ния Кортевега - де Фриса, <убывающих в одном направлении, но нельзя использовать для неубывающих решений. <Нек-рые из таких решений можно построить методами алгебраич. геометрии. <Профили этих решений - периодич. или квазипериодич. потенциалы, в непрерывномспектре к-рых имеется конечное число п запрещённых зон (см., напр.,Бриллюэна зона). Простейший из них (однозонный потенциал) выражаетсячерез эллиптические функции и описывает частное решение ур-ния (1) - стационарнуюпериодич. волну. Общее решение (n -зонный потенциал) описывает взаимодействие п таких волн. С n -зонными потенциалами связаны 15009-31.jpg -функцииЯкоби, при помощи к-рых можно записать и решения линейной системы (2),(3) - функции Блоха.
Применение метода. Описанная схема применимак разл. нелинейным дифференц. и интегро-дифференц. ур-ниям, представимымв виде

15009-32.jpg

Здесь 15009-33.jpg- произвольная рациональная ф-ция переменной 15009-34.jpgа 15009-35.jpg - т. <н. рекурсионный оператор:

15009-36.jpg

[для ур-ния Кортевега - де Фриса 15009-37.jpg]. В частном случае 15009-38.jpgур-ния (8) (т. н. высшие ур-ния Кортевега - де Фриса) являются дифференциальнымии имеют порядок (2 т + 1). Ур-ния (8) являются условиями совместностилинейной системы ур-ний, к-рая отличается от системы (2), (3) видом оператора 15009-39.jpg.Если 15009-40.jpg- полином по переменной 15009-41.jpgто 15009-42.jpg -дифференц. оператор.
Все ур-ния (8) имеют n -солитонныеи конечнозонные решения. Каждое из ур-ний (8) имеет бесконечное число интеграловдвижения. В качестве интеграла можно взять любой функционал от сохраняющейсяф-ции 15009-43.jpgИнтегралы вида

15009-44.jpg

можно выразить через ф-цию и и еёпроизводные по х, напр.:

15009-45.jpg

Все ур-ния (8) являются гамильтоновымисистемами. Однако гамильтонова структура задаётся для них неоднозначно. <Для задания этой структуры нужно определить скобку Пуассона 15009-46.jpgмежду функционалами от ф-ции и. Кроме обычной скобки Пуассона

15009-47.jpg

можно ввести след, скобку Пуассона

15009-48.jpg

Здесь 15009-49.jpg- произвольная рациональная ф-ция переменной 15009-50.jpg
Любая из скобок Пуассона между любымидвумя интегралами движения равна 0. Этот факт тесно связан со свойствомполной интегрируемости: нелинейное ур-ние в частных производных (8) распадаетсяна бесконечную систему обыкновенных дифференц. ур-ний.
Дальнейшее расширение класса ур-ний, кк-рым применим О. з. р. м., связано с др. выбором оператора 15009-51.jpgВ качестве 15009-52.jpgможно взять оператор 3-го или более высокого порядка. С каждым оператором 15009-53.jpgсвязаны свой рекурсионный оператор и своя бесконечная серия ур-ний вида(8). Лишь нек-рые из этих ур-ний имеют физ. применения. Так, оператор 3-гопорядка позволяет исследовать возникающее в теории нелинейных волн ур-ниеБуссинеска

utt +uxx+ и хххх+ (u2) хх=0.

В качестве оператора 15009-54.jpgможновзять разностные операторы, что позволяет применить О. з. р. м. к дифференциально-разностнымур-ниям, среди к-рых особенно интересны ур-ние Вольтерры

15009-55.jpg

встречающееся в матем. биофизике и теорииплазменной турбулентности, а также ур-ние для цепочки. Тода

15009-56.jpg

описывающее нелинейную модель одномерногокристалла. Оператор 15009-57.jpgможет быть сингулярным интегральным оператором, такие операторы возникаютв краевых задачах теории аналитич. ф-ций. Их можно использовать для изучениянелинейных ур-ний, возникающих в теории внутр. волн. Оператор 15009-58.jpgможет быть матричным. Так, для применения О. з. р. м. к Шрёдингера уравнениюнелинейному нужно подставить в ур-ние (2) вместо оператора 15009-59.jpgодномерный оператор Дирака (см. Дирака уравнение). При изученииважной для нелинейной оптики задачи о резонансном взаимодействии системытрёх волн с помощью О. з. р. м. в качестве 15009-60.jpgследует использовать обобщение оператора Дирака.
Обобщения метода. Описанная схема О. з. <р. м. допускает разл. обобщения. Зависимость ур-ний, входящих в линейнуюсистему, от спектрального параметра 15009-61.jpgможет описываться рациональными или эллиптич. ф-циями и даже дифференц. <операторами по 15009-62.jpgУсловия совместности линейной системы образуют разнообразный набор нелинейныхур-ний, имеющих, вообще говоря, переменные коэффициенты. Многие из этихур-ний находят применение в физике, напр. в нелинейной оптике, теории ферромагнетизмаи общей теории относительности. Для отыскания солитонных решений этих ур-нийразвиты простые методы, основанные на свойствах аналитич. ф-ций.
Существует неск. вариантов обобщения О. <з. р. м. на многомерный случай, однако лишь нек-рые ур-ния используютсяв физике, напр. Кадомцева- Петвиашвили уравнение и ур-ниедуальности для Янга - Миллса полей. Теория таких ур-ний не завершена.
Развитие О. з. р. м. позволило по-новомувзглянуть на теорию конечномерных интегрируемых систем. В О. з. р. м. можновключить почти все известные системы такого рода. О. з. р. м. стимулировалисследования в разл. областях математики (спектральная теория дифференц. <операторов, классич. алгебраич. геометрия). Результаты этих исследованийиспользуются в теории элементарных частиц (релятивистские струны).

Лит.: Теория солитонов. Метод обратнойзадачи, М., 1980; Лэм Дж., Введение в теорию солитонов, пер. с англ., М.,1983; Абловиц М., Сигур X., Солитоны и метод обратной задачи, пер. с англ.,М., 1987.

В. Е. Захаров.

Физическая энциклопедия. В 5-ти томах. — М.: Советская энциклопедия. . 1988.


.

Смотреть что такое "ОБРАТНОЙ ЗАДАЧИ РАССЕЯНИЯ МЕТОД" в других словарях:

  • метод — метод: Метод косвенного измерения влажности веществ, основанный на зависимости диэлектрической проницаемости этих веществ от их влажности. Источник: РМГ 75 2004: Государственная система обеспечения еди …   Словарь-справочник терминов нормативно-технической документации

  • Метод главных компонент — (англ. Principal component analysis, PCA)  один из основных способов уменьшить размерность данных, потеряв наименьшее количество информации. Изобретен К. Пирсоном (англ. Karl Pearson) в 1901 г. Применяется во многих областях,… …   Википедия

  • Метод Главных Компонент — (англ. Principal components analysis, PCA)  один из основных способов уменьшить размерность данных, потеряв наименьшее количество информации. Изобретен К. Пирсоном (англ. Karl Pearson) в 1901 г. Применяется во многих областях, таких как… …   Википедия

  • АСТРОФИЗИКИ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ — круг задач теоретич. астрофизики, в к рых широко используются математич. методы исследования. Основной предмет теоретич. астрофизики составляет истолкование результатов наблюдений с целью изучения строения объектов, наблюдаемых во Вселенной, а… …   Математическая энциклопедия

  • МОНТЕ-КАРЛО МЕТОД — метод статистических испытаний, численный метод, основанный на моделировании случайных величин и построении статистич. оценок для искомых величин. Принято считать, что М. К. м. возник в 1949 (см. [1]), когда в связи с работами по созданию атомных …   Математическая энциклопедия

  • СОЛИТОН — структурно устойчивая уединённая волна в нелинейной диспергирующей среде. С. ведут себя подобно ч цам: при вз ствии между собой или с нек рыми др. возмущениями С. не разрушаются, а расходятся вновь, сохраняя свою структуру неизменной. Структура С …   Физическая энциклопедия

  • НЕЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ — ур ния, не обладающие свойством линейности; применяются в физике как матем. модели нелинейных явлений в разл. сплошных средах. Н. у. м. ф. важная часть матем. аппарата, используемого в фундам. физ. теориях: теории тяготения и квантовой теории… …   Физическая энциклопедия

  • ШРЁДИНГЕРА ОПЕРАТОРА СПЕКТР — множество собств. значений оператора Шрёдингера (OШ): где гамильтониан оператор полной энергии системы (в том случае, когда потенциал не зависит от времени), и операторы кинет …   Физическая энциклопедия

  • СИНУС-ГОРДОНА УРАВНЕНИЕ — релятивистски инвариантное ур ние …   Физическая энциклопедия

  • ТОЧНО РЕШАЕМЫЕ МОДЕЛИ — к в а н т о в о й т е о р и и п о л я и с т а т и с т и ч е с к о й ф и з и к и (вполне интегрируемые системы), матем. модели физ. систем, допускающие точное вычисление собств. функций и собств. значений гамильтониана таких систем, а также… …   Физическая энциклопедия

Книги



Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»

We are using cookies for the best presentation of our site. Continuing to use this site, you agree with this.