МНОЖЕСТВО


МНОЖЕСТВО
МНОЖЕСТВО

- набор, совокупность, собрание к.-л. объектов, называемых его элементами, обладающих общим для всех них характеристич. свойством. Понятие M. принадлежит к числу первоначальных матем. понятий и может быть пояснено только при помощи примеров. Так, можно говорить о M. людей, живущих на нашей планете в данный момент времени, о M. точек данной геом. фигуры, о M. решений данного дифференц. ур-ния. Люди, живущие на нашей планете в данный момент времени, точки данной геом. фигуры, решение данного дифференц. ур-ния являются элементами соответствующего M. Множество А считается заданным, если указано характеристич. свойство элементов этого M., т. е. такое свойство, к-рым обладают все элементы этого M., и только они. Для обозначения того, что элемент а принадлежит M. А , пишут а3034-1.jpg А (если а не принадлежит А, то пишут a3034-2.jpg А). Может случиться, что характеристич. свойством, определяющим M. А, не обладает вообще ни один элемент, тогда говорят, что M. А пустое, и пишут А =3034-3.jpg. Напр., M. действительных решений ур-ния х2 = -1 пустое. Если каждый элемент M. А является в то же время элементом M. В, то А наз. подмножеством В и пишут А3034-4.jpg В. Если одновременно выполнено А3034-5.jpg В и В3034-6.jpg А, то говорят, что M. А и В равны и пишут A = B. Объединением А3034-7.jpg В M. А и В наз. M., состоящее из всех элементов, принадлежащих хотя бы одному из M. А и В. Пересечением А3034-8.jpg ВM. А и В наз. M., состоящее из всех элементов, принадлежащих как А, так и В. Операции объединения и пересечения коммутативны, ассоциативны и взаимно дистрибутивны. Напр., ( А3034-9.jpg В)3034-10.jpg C = = (А 3034-11.jpg С) 3034-12.jpg3034-13.jpg С). Наряду с данными двумя M. А и В рассмотрим M. С, элементами к-рого являются всевозможные пары (а, 6), где а3034-14.jpg А, b3034-15.jpg В.M. всех таких пар наз. произведением M. A и B иобозначается А3034-16.jpg В. Напр., евклидова плоскость R2=- R13034-18.jpg R1 является произведением двух веществ. прямых R1. Если каждому элементу а3034-19.jpg А поставлен в соответствие нек-рый элемент f( а) 3034-20.jpg В, то говорят, что задано отображение M. А в M. В (записывается f: А3034-21.jpg В), иназывают точку f(A )образом точки а при отображении f, M. f(A) - образом M. A, a M. f-1(b) - прообразом точки b3034-22.jpg В. Если f(A) - С3034-23.jpg В, то f наз. отображением "в", в случае, когда f(A) = В, f наз. сюрьективным отображение м или отображением "на". Отображение f: А3034-24.jpg В наз. инъективным или вложением, если из a1, a23034-26.jpg А и a13034-27.jpg a2 следует f(a1) 3034-28.jpg f(a2). Отображения, одновременно инъективные и суръективные, наз. биекциям и или взаимнооднозначными соответствиями.

Часто рассматривают только такие M., к-рые содержатся в нек-ром фиксиров. M. X. Если A - подмножество X и P - свойство, характеризующее элементы из A, то пишут А ={ х 3034-29.jpg X: Р(х)}, где Р(х )означает, что свойство P выполнено для x (двоеточие заменяет слова "такое, что"). Напр., если X -M. всех действит. чисел, а A - подмножество положит. чисел, то А= { х3034-30.jpg Х: х>0}. Если А3034-31.jpg X, то M. X А = = {х 3034-32.jpgX : c3034-33.jpgА}. наз. дополнением M. А. Операции объединения, пересечения и дополнения связаны т. н. законами де Моргана, напр.: Х(A 3034-34.jpg B) = ( Х А) 3034-35.jpg (X В).

Между двумя конечными M. можно установить биек-цию тогда и только тогда, когда оба M. состоят из одного и того же числа элементов. Обобщая этот факт, Г. Кантор (G. Cantor, 1871-83) определил количественную эквивалентность, или равномощность бесконечных M. как возможность установить между двумя M. взаимно однозначное соответствие. Если M. А равномощно M. В, то говорят, что A и B имеют одно и то же кардинальное число. Ценность понятия мощности M. определяется существованием неравномощных бесконечных M. Напр., M. всех действит. чисел и M. всех натуральных чисел имеют разные мощности. Первое имеет мощность континуума, а второе - счётное M. T. о., бесконечность M. допускает расчленение на разные ступени матем. бесконечности, к-рым соответствуют разл. кардинальные числа, образующие шкалу мощностей. Предположение о месте мощности континуума в этой шкале (точнее, о совпадении континуума с первой несчётной мощностью) наз. континуум-гипотезой. Отметим, что в каждом бесконечном M. А имеется собств. подмножество, равномощное всему А (правильная часть M.), в то время как ни в одном конечном M. такой правильной части найти нельзя. Поэтому наличие правильной части, равномощной целому, можно принять за определение бесконочного M.

Использование теоретико-множеств. конструкций в физике, как правило, опосредованно и происходит в осн. через такие матем. дисциплины, как функциональный анализ, динамич. системы, теория групп, топология, алгебраич. геометрия, нестандартный анализ и др. Классич. пример - формализация дельта-функции Дирака d( х), к-рую физик представляет, напр., как точечную единичную массу бесконечной плотности, а математик - как отображение M. финитных ф-ций на прямую, т. е. функционал на пространстве финитных ф-ций. Др. пример - это моделирование эл.-магн. поля или поля Янга - Миллса как связностей на специальных геом. объектах ( расслоениях), заданных парой пространств E и M и отображением f : E3034-36.jpg M, если M - модель пространства-времени, а f-1( т) - пространство внутр. состояний точки т3034-37.jpg M. Такой подход является существ. шагом в единой теории поля. Многообещающим выглядит использование нестандартного анализа для нового построения квантовой механики и статистич. физики, где формализуются, напр., такие физ. конструкции, как бесконечные флуктуации поля в бесконечно малой области.

Лит.: Бурбаки H., Начала математики, ч. 1- Основные структуры анализа, кн. 1 - Теория множеств, пер. с франц., M., 1965; Столл P. Р., Множества. Логика. Аксиоматические теории, пер. с англ., M., 1968; Fагrukh M. О., Application of nonstandard analysis to quantum mechanics, "J. Math. Phys.", 1975, v. 16, № 2, p. 177; Александров П. С., Введение в теорию множеств и общую топологию, M., 1977; Mанин Ю. И., Доказуемое и недоказуемое, M., 1979; его же, Калибровочные поля и комплексная геометрия, M., 1984; Девис M., Прикладной нестандартный анализ, пер. с англ., M., 1980; Кантор Г., Труды по теории множеств, пер. с нем., франц., M., 1985; Nonstandard methods in stochastic analysis and mathematical physics, Orlando - [a. o.], 1986; Архангельский А. В., Канторовская теория множеств, М., 1988.

Б. А. Ефимов.

Физическая энциклопедия. В 5-ти томах. — М.: Советская энциклопедия. . 1988.


.

Синонимы:
, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,


Смотреть что такое "МНОЖЕСТВО" в других словарях:

  • МНОЖЕСТВО —         см. Класс в логике. Философский энциклопедический словарь. М.: Советская энциклопедия. Гл. редакция: Л. Ф. Ильичёв, П. Н. Федосеев, С. М. Ковалёв, В. Г. Панов. 1983. МНОЖЕСТВО …   Философская энциклопедия

  • множество — См. избыток, много, обилие многое множество... Словарь русских синонимов и сходных по смыслу выражений. под. ред. Н. Абрамова, М.: Русские словари, 1999. множество избыток, много, обилие, масса, уймища, бездна, пропасть, тьма( тьмущая, тем), куча …   Словарь синонимов

  • множество — набор комплект — [http://www.rfcmd.ru/glossword/1.8/index.php?a=index d=4318] множество Одно из основных понятий современной математики, «произвольная совокупность определенных и различимых объектов, объединенных мысленно в единое… …   Справочник технического переводчика

  • Множество — [set] одно из основных понятий современной математики, «произвольная совокупность определенных и различимых объектов, объединенных мысленно в единое целое». (Так определял множество основатель теории множеств, известный немецкий… …   Экономико-математический словарь

  • МНОЖЕСТВО — МНОЖЕСТВО, множества, ср. (книжн.). 1. только ед. Неопределенно большое количество, число чего нибудь. Множество рабочих. Множество фактов. «Я слышал в жизни множество отличнейших певцов.» Некрасов. 2. Совокупность элементов, выделенных в… …   Толковый словарь Ушакова

  • МНОЖЕСТВО — МНОЖЕСТВО, множить и пр. см. многий. Толковый словарь Даля. В.И. Даль. 1863 1866 …   Толковый словарь Даля

  • множество —     МНОЖЕСТВО, изобилие, лавина, море, обилие, поток, разг. бездна, разг. вагон, разг. воз, разг. куча, разг. масса, разг. пропасть, разг. тьма, разг. уйма, разг. уймища, разг. сниж. гибель, разг. сниж. прорва, разг. сниж. сила, разг. сниж. тьма… …   Словарь-тезаурус синонимов русской речи

  • Множество — совокупность элементов, параметров, объединенных по какому либо признаку Словарь бизнес терминов. Академик.ру. 2001 …   Словарь бизнес-терминов

  • МНОЖЕСТВО — в математике, см. Множеств теория …   Большой Энциклопедический словарь

  • МНОЖЕСТВО — МНОЖЕСТВО, а, ср. 1. Очень большое количество, число кого чего н. М. людей. М. случаев. Всяких запасов во множестве. 2. В математике: совокупность элементов, объединённых по какому н. признаку. Теория множеств. Толковый словарь Ожегова. С.И.… …   Толковый словарь Ожегова

Книги

Другие книги по запросу «МНОЖЕСТВО» >>


Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»

We are using cookies for the best presentation of our site. Continuing to use this site, you agree with this.