МАТРИЦА

МАТРИЦА
МАТРИЦА

- прямоугольная таблица


3013-7.jpg


состоящая из т строк и n столбцов; её паз. M. размера 3013-8.jpg Элементами(первый индекс указывает номер строки, второй 3013-9.jpg- номер столбца) M. могут быть числа, ф-ции пли др. величины, над к-рыми можно производить алгебраич. операции. M. также обозначают как 3013-10.jpg Наряду с конечными M. рассматривают M. с бесконечным числом строк или столбцов.

M. размера 3013-11.jpg наз. столбцом, а размера-3013-12.jpg строкой. M., все элементы к-рой равны нулю, наз. нулевой M. и обозначается О. M. размера 3013-13.jpg наз. квадратной M. порядка п. У квадратной M. число строк равно числу столбцов. Квадратная M. 3013-14.jpg наз. треугольной, если а ij =0 при 3013-15.jpg , "строго треугольной, если 3013-16.jpg при 3013-17.jpg, диагональной, если 3013-18.jpg при 3013-19.jpg . Диагональная M. обычно обозначается diag 3013-20.jpg . Если все 3013-21.jpgполучают скалярную M. При 3013-22.jpgM. наз. единичной и обозначается I или E. В квадратной M. диагональ, проведённая из верхнего левого угла в нижний правый угол, наз. гл. диагональю.


Квадратная M. наз. неособенной (невырожденной), если она имеет единств, обратную M.3013-23.jpg, определяемую условиями 3013-24.jpg. В противном случае А- особенная (вырожденная) M. Квадратная M. является неособенной в том и только в том случае, когда её определитель,del А, отличен от нуля. Понятие M. впервые появилось в сер. 19 в. в работах У. P. Гамильтона (W. R. Hamilton) и А. Кэли (A. Cayley).


Действия над матрицами. Суммой или разностью двух 3013-25.jpg и 3013-26.jpg наз. 3013-27.jpg M.

3013-28.jpg , где 3013-29.jpg Произведением M ". 3013-30.jpgна число a наз. M. с элементами ффaaij.

Перемножать две M. можно только тогда, когда число столбцов в 1-м сомножителе яавно числу строк во 2-м. Если 3013-31.jpgM., a3013-32.jpgM., то 3013-33.jpgM.

С с элементами 3013-34.jpgназ. произведением M.

Ap Вp обозначается: 3013-35.jpg. Если существуют оба произведения AB и BA (это, в частности, будет всегда, если А и В- квадратные M. одного и того же порядка), то, вообще говоря, 3013-36.jpg В результате перемножения двух M. можно получить нулевую M., хотя ни одна из перемножаемых M. не является нулевой. Невырожденные M. порядка 3013-37.jpgобразуют группу относительно умножения, она наз. полной линейной группой 3013-38.jpg

Определённые выше операции обладают след, свойствами:

3013-39.jpg

3013-40.jpg

3013-41.jpg

Транспонированием M. 3013-42.jpgразмера 3013-43.jpgназ. замена её строк столбцами (1-я строка заменяется на 1-й столбец, 2-я строка на 2-й столбец и т. д.), т. е. это переход к M. 3013-44.jpg размера 3013-45.jpg такой, что 3013-46.jpg Комплексным сопряжением M.3013-47.jpgназ. переход к M.

3013-48.jpg где 3013-49.jpgозначает комплексное сопряжение.

Эрмитовым сопряжением M.3013-50.jpg размера 3013-51.jpg наз. переход к M.3013-52.jpg

3013-53.jpg размера 3013-54.jpgM.3013-55.jpgназ. эрмитово сопряжённой с M. А. Имеют место след, соотношения:

3013-56.jpg3013-57.jpg

Квадратные матрицы. Квадратная M. А наз.: симметричной, если 3013-58.jpg; антисимметричной, если 3013-59.jpg; эрмитовой (самосопряжённой), если 3013-60.jpg; антиэрмитовой, если 3013-61.jpg; ортогональной, если 3013-62.jpg ; унитарной, если 3013-63.jpg I; унимодулярной, если 3013-64.jpg. Для каждой M. А с комплексными элементами 3013-65.jpg

3013-66.jpg есть симметричная,3013-67.jpg антисимметричная,3013-68.jpg- эрмитова и H23013-69.jpg - антиэрмитова M.3013-70.jpg- разложение (единств.) данной M. в сумму симметричной и антисимметричной M.3013-71.jpg- разложение

(единств.) данной M. в сумму эрмитовой и антиэрмитовой M.

Существует т. н. полярное разложение 3013-72.jpg

3013-73.jpg M. А в произведение эрмитовой M.3013-74.jpgи унитарной 3013-75.jpg однозначно определяется условием 3013-76.jpg , a M. U однозначно определяется в том и только в том случае, если А - невырожденная M. (это разложение аналогично представлению комплексного числа в ппде 3013-77.jpg

M. А, для к-рой выполняется условие 3013-78.jpg наз. нормальной M. M. А нормальна тогда и только тогда, когда её можно преобразовать в диагональную M. D унитарным преобразованием, т. е.


3013-79.jpg

M. А наз. подобной M.3013-80.jpgесли существует такая неособенная M. T (преобразующая M.), что 3013-81.jpg ; А,3013-82.jpg я T должны быть M. одного и того же порядка. Переход от M. А к M.3013-83.jpgназ. преобразованием подобия. При каждом преобразовании подобия сохраняются инварианты матрицы. Две подобные M. имеют один и тот же ранг, один и тот же след, один и тот же определитель. Все подобные M. образуют класс подобных матриц, и важной задачей теории M. является выбор M. простейшего вида в этом классе - приведение M. к канонич. форме. Решение этой задачи тесно связано с нахождением собств. значений M. (см. ниже).

Любая M. подобна треугольной M., диагональные элементы к-рой - собств. значения M. Матрицу А можно преобразованием подобия с унитарной преобразующей матрицей T привести к диагональному виду в том и только в том случае, если А подобна нек-рой нормальной M. В этом случае диагональные элементы M.3013-84.jpgявляются собств. значениями M. Эрмитовы и унитарные M. (а потому действительные и симметричные пли ортогональные M.) представляют собой частные случаи нормальных M., поэтому все они приводятся к диагональному виду.

Теория M. тесно связана с теорией линейных преобразований векторных пространств (см. Линейный оператор).

Собственными значениями (собств. числами, характеристич. числами) M.3013-85.jpg наз. корни характеристического уравнения матрицы 3013-86.jpg . M. удовлетворяет своему характеристич. ур-нию. Если 3013-87.jpg- собств. значение M. А порядка п, то существует ненулевой столбец (вектор-столбец) k такой, что 3013-88.jpg. Этот вектор-столбец наз. собственным (характеристическим) вектором M. А, соответствующим собств. значению 3013-89.jpg Спектром (собств. значений) M. А наз. множество всех её собств. значений. Собств. значения M. А обладают след, свойствами:

3013-90.jpg

где Т rA = след M. А. Следовательно, если хотя бы одно собств. значение равно нулю, то M. является особенной (вырожденной).

Если M. А порядка n имеет n разл. собств. значений 3013-91.jpg , то существует n независимых собств. векторов 3013-92.jpg , соответствующих этим собств. значениям. Если А- действительная и симметричная M. и если

3013-93.jpg - вектор-строка, получающаяся транспонированием вектора-столбца 3013-94.jpg. Если M. А - невырожденная, то собств. значениями M.3013-95.jpg являются 3013-96.jpgа собств. векторами по-прежнему векторы 3013-97.jpgЕсли-3013-98.jpg наиб. модуль h собств.

значений M. А порядка n, то при 3013-99.jpg где c- произвольный вектор-столбец. Для действительной ортогональной M. А3013-100.jpgдля всех I. Если А- симметричная M. и не все собств. значения различны, всё равно можно найти h взаимно ортогональных собств. векторов. Если каждый такой вектор kj нормирован, т. е. умножен на 3013-101.jpg ортогональна и 3013-102.jpg Вообще,

если M. А порядка h имеет h разл. собств. значений 3013-103.jpg к-рым соответствуют независимые собств. векторы 3013-104.jpg, то преобразует

3013-105.jpg

А в диагональную M.: 3013-106.jpg. Если не все h собств. значений различны, то такое преобразование может оказаться невозможным.

Если H- эрмитова M. порядка п, то её собств. значения всегда действительны и всегда можно найти п собств. векторов 3013-107.jpg таких, что 3013-108.jpg

Унитарная M.3013-109.jpgпреобразует Н к диагональному виду.

С каждой M. А порядка n связана квадратичная форма от n комплексных переменных 3013-110.jpg образующих столбец х:


3013-111.jpg


Эрмитова форма 3013-112.jpg где H - эрмитова M., принимает только действит. значения; она наз. положительно определенной или неотрицательной, если 3013-113.jpg или 3013-114.jpg для каждого набора 3013-115.jpg.

Аналитич. функцию матрицы A порядка n определяют при помощи ряда 3013-116.jpgпо степеням А.

Каждый такой ряд можно свести к многочлену га-й степени от А, т. к. M. А удовлетворяет своему характе-ристич. ур-нию. M. А наз. нильпотентной, если 3013-117.jpg при нек-ром целом положительном k.

M. А тогда и только тогда нильпотентна, когда все её собств. значения равны нулю.

M., имеющую более чем одну строку и столбец, можно разбить на меньшие прямоугольные подматрицы (блоки), проведя между столбцами и (или) строками прямые линии. Две соответствующим образом разбитые M. А и В размера 3013-118.jpgможно перемножить, пользуясь входящими в них подматрицами как элементами в обычной ф-лс произведения M.; получающиеся таким путём элементы произведения являются подматрицами M. AB размера 3013-119.jpg M., разбитую на блоки, наз. клеточной (блочной) M. Прямым (внешним, кронекеровским) произведением М. А к В наз. блочная M. С= A х В, блоки к-рой имеют вид <В, С и D существуют произведения AC и BD, то 3013-120.jpg

3013-121.jpg . Если M. А имеет вид

3013-122.jpg

т. е. является диагональной M. с диагональными элементами в виде квадратных подматриц 3013-123.jpgто такая M. наз. клеточно-диагональной. В этом случае 3013-124.jpg3013-125.jpg3013-126.jpg ... Клеточно-диагональной M. является нормальная (жорданова) форма, к к-рой можно преобразованием подобия привести любую M. При этом в каждой диагональной клетке вдоль гл. диагонали повторяется одно и то же число, а параллельный ряд над гл. диагональю состоит из 1. Все остальные элементы в диагональных клетках равны нулю:


3013-127.jpg


Важную роль играют M. в квантовой механике, где динамнч. наблюдаемым величинам сопоставляют эрмитовы M., собств. значения к-рых соответствуют экспериментально наблюдаемым значениям этих фпз. величин. При описании квантовомеханич. явлений, в к-рых участвуют частицы, обладающие спином, используют Паули матрицы и Дирака, матрицы. В квантовой теории поля, где существенны разл. группы симметрии, рассматривают матричные представления групп.

MH. задачи по обращению M., нахождению их собств. значений и т. д., возникающие в физ. исследованиях, решают с помощью ЭВМ.


Лит.: Мальцев А. И., Основы линейной алгебры, 4 изд., M., 1975; Гантмахер F. Р., Теория матриц, 4 изд., M., 1988; Мишина А. П., Проскуряков И. В., Высшая алгебра, 2 изд., M., 1965; Боревич 3. П., Определители и матрицы, 3 изд., M., 1988; Беллман Р., Введение в теорию матриц, пер. с англ., 2 изд., M., 1976; Маркус M., Mини X., Обзор по теории матриц и матричных неравенств, пер. с англ., M., 1972. С. И. Азаков.


Физическая энциклопедия. В 5-ти томах. — М.: Советская энциклопедия. . 1988.


.

Синонимы:

Смотреть что такое "МАТРИЦА" в других словарях:

  • матрица — Логическая сеть, сконфигурированная в виде прямоугольного массива пересечений входных/выходных каналов. [http://www.vidimost.com/glossary.html] матрица Система элементов (чисел, функций и других величин), расположенных в виде прямоугольной… …   Справочник технического переводчика

  • Матрица — [matrix] система элементов (чисел, функций и других величин), расположенных в виде прямоугольной таблицы, над которой можно производить определенные действия. Таблица имеет следующий вид: Элемент матрицы в общем виде обозначается aij это… …   Экономико-математический словарь

  • МАТРИЦА — (нем., Matrize, от лат. matrix матка). 1) в литейном производстве: медная форма для отливки букв, а также монет. 2) в типографском деле: бумажная форма для отливки стереотипа. Словарь иностранных слов, вошедших в состав русского языка. Чудинов… …   Словарь иностранных слов русского языка

  • матрица — ы, ж., МАТРИС matrice f., нем. Matrize <лат. matris. 1. Форма, в которой отливают буквы, знаки при книгопечатании. Сл. 18. А велено на печатном дворе против тех образцов вырезать пунсоны стальные и ими пробить матрицы на меди, и, отлив те… …   Исторический словарь галлицизмов русского языка

  • МАТРИЦА — в математике прямоугольная таблица каких либо элементов aik (чисел, математических выражений), состоящая из m строк и n столбцов:Если m=n, то матрица называется квадратной. Над матрицей можно производить действия по правилам матричной алгебры.… …   Большой Энциклопедический словарь

  • Матрица — двумерный массив однотипных элементов. Положение элемента в матрицы определяется номером строки и номером столбца. По английски: Matrix См. также: Типы данных Финансовый словарь Финам …   Финансовый словарь

  • матрица — сетка, (многомерная) таблица; волока, форма, матка, источник, фильера, фотоматрица, начало Словарь русских синонимов. матрица сущ., кол во синонимов: 11 • волока (2) • …   Словарь синонимов

  • МАТРИЦА — см. ДАННЫХ МАТРИЦА Antinazi. Энциклопедия социологии, 2009 …   Энциклопедия социологии

  • МАТРИЦА — (matrix) Множество элементов, сгруппированных в ряды и столбцы. Элементы могут быть цифрами, алгебраическими выражениями или их сочетаниями. Матрица m х n имеет m рядов (слева направо) и n столбцов (сверху вниз). В матрице А аij, представляет… …   Экономический словарь

  • МАТРИЦА — (1) в машиностроении часть (см.) с вырезанным в нём углублением млн. отверстием, соответствующим форме обрабатываемой давлением детали, в которое входит (см.); (2) в полиграфии углублённая (в противоположность выпуклой (см.)), предназначенная… …   Большая политехническая энциклопедия

  • Матрица — пространственная совокупность числовых значений, расположенных в узлах условной решетки. Словарь бизнес терминов. Академик.ру. 2001 …   Словарь бизнес-терминов

Книги

  • Матрица ландшафта, Творческий коллектив проектирования будущего. "Матрица ландшафта"-книга творческого коллектива проектирования будущего, посвящённая городу. Многих любителей городской жизни шокируют необычные ракурсы и новый взгляд на историю рождения и… Подробнее  Купить за 705 руб
  • Матрица 4.0, Артур Янг. Вы уверенны, что живёте в реальном мире? Я докажу, что это не так. Вся наша жизнь – это многослойная иллюзия, из которой нет выхода. Но это не значит, что мы обречены. Ведь любую иллюзорную… Подробнее  Купить за 100 руб электронная книга
  • Матрица, Валерий Смирнов. В эту книгу вошли лучшие рассказы Валерия Смирнова, написанные автором в разные годы… Подробнее  Купить за 99.9 руб электронная книга
Другие книги по запросу «МАТРИЦА» >>


Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»