МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ УРАВНЕНИЯ


МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ УРАВНЕНИЯ
МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ УРАВНЕНИЯ

- ур-ния, описывающие матем. модели физ. явлений. Теория этих моделей (математическая физи-к а) занимает промежуточное положение между физикой и математикой. При построении моделей используют физ. законы, однако методы исследования полученных ур-ний являются математическими. В понятие методов математической физики включают те математические методы, к-рые применяют для построения и изучения моделей, описывающих широкие классы физических явлений.

Методы матем. физики начали разрабатываться в трудах И. Ньютона (I. Newton) по созданию основ классич. механики, всемирного тяготения, теории света. Дальнейшее их развитие и применение к изучению матем. моделей разл. физ. явлений связаны с именами Ж. Л. Лагранжа (J. L. Lagrange), Л. Эйлера (L. Eulеr), Ж. Фурье (J. Fourier), K. Ф. Гаусса (С. F. Gaufi), Б. Римана (В. Riemann), M. В. Остроградского, A. M. Ляпунова, В. А. Стеклова.

Методы матем. физики применяли для изучения физ. явлений, связанных с разл. полями и волновыми процессами в электродинамике, акустике, теории упругости, гидро- и аэродинамике, теории тепла и диффузии и ряде др. исследований физ. явлений в сплошных средах. Матем. модели этих явлений обычно описывают при помощи дифференц. ур-ний с частными производными, получивших название M. ф. у.

Помимо дифференц. ур-ний при описании матем. моделей физики применяют интегральные и интегро-дифференц. ур-ния, вариационные и теоретико-вероятностные методы, теорию потенциала, методы теории аналитич. ф-ций и др. разделы математики. Особое значение для исследования матем. моделей физики приобретают прямые численные методы, использующие ЭВМ, что позволило эффективно решать сложные задачи газовой динамики, теории переноса, физики плазмы.

Теоретич. исследования в области квантовой физики потребовали расширения используемых матем. методов. Стали применять теорию операторов, теорию обобщённых ф-ций, топологич. и алгебраич. методы. Интенсивное взаимодействие теоретич. физики, математики и использования ЭВМ в науч. исследованиях привело к расширению тематики, созданию новых классов моделей.

Постановка задач матем. физики заключается в построении матем. моделей, описывающих осн. закономерности изучаемого класса физ. явлений. Такая постановка состоит в выводе ур-ний (диффероиц., интегральных, интегро-дифференц. или алгебраических), к-рым удовлетворяют величины, характеризующие физ. процесс. При этом исходят из осн. физ. законов, учитывающих только наиб, существ, черты явления, отвлекаясь от второстепенных характеристик. Такими законами являются обычно законы сохранения, напр., кол-ва движения, энергии, числа частиц и т. д. Поэтому для описания процессов разл. физ. природы, но имеющих общие характерные черты, применимы одни и те же матем. модели.

Краевые задачи. Для полного описания эволюции физ. процесса помимо ур-ний необходимо, во-первых, задать картину процесса в нок-рый фиксиров. момент времени (начальные условия) и, во-вторых, задать режим на границе той среды, где протекает этот процесс (граничные условия). Начальные и граничные условия образуют краевые условия, а дифференц. ур-ния вместе с соответствующими краевыми условиями - краевую задачу матем. физики.

Большинство M. ф. у.- линейные дифференц. ур-ния с частными производными 2-го порядка:


3012-75.jpg


с кусочно-непрерывными коэф.3012-76.jpg. Заменой переменных квадратичную форму 3012-77.jpg можно привести к канонич. виду


3012-78.jpg

причём числа r и т не зависят от преобразования. Если m = n и все слагаемые одного знака (r = 0 или r = т), то ур-ние относится к эллиптическому типу. Если т = п, но имеются слагаемые разных знаков, исследуемое ур-ние -гиперболического типа. При т< n - ур-ние параболического типа. Эта классификация, вообще говоря, зависит от точки х. Ниже приведены нек-рые примеры ур-ний и соответствующих краевых задач.

Ур-ние

3012-79.jpg


описывает малые колебания струн, стержней, мембран, акустич. и эл.-магн. колебания. В ур-нии (1) пространственные несемейные c = (ci,..., ch )изменяются в области 3012-80.jpgгде развивается рассматриваемый физ. процесс; при этом должно быть 3012-81.jpg 3012-82.jpg , При этих условиях ур-ние (1) - ур-ние гиперболич. типа. При 3012-83.jpgи q =0 ур-ние (1) превращается в волновое уравнение


3012-84.jpg


где 3012-85.jpg- оператор Лапласа.

Диффузии уравнение


3012-86.jpg


описывает процессы диффузии частиц и распространения тепла в среде. Ур-ние (3) - ур-ние параболич. типа. При 3012-87.jpg ур-ние (3)

превращается в уравнение теплопроводности


3012-88.jpg


Для стационарных процессов, когда отсутствует зависимость от времени f, ур-ния (1) и (3) принимают вид


3012-89.jpg


Ур-ние (5) - ур-ние эллиптич. типа. При r = 1 и q = 0 ур-ние (5) наз. ур-нием Пуассона


3012-90.jpg


а при f = 0 - Лапласа уравнением


3012-91.jpg


Ур-ниям (6) и (7) удовлетворяют разл. потенциалы: ньютонов (кулонов) потенциал, потенциал течения несжимаемой жидкости и т. д.

Если в волновом ур-нии (2) внеш. возмущение f - периодическое с частотой 3012-92.jpg

то амплитуда и(х )периодич. решения с той же частотой w


3012-93.jpg

удовлетворяет Гельмголъца уравнению

3012-94.jpg

К ур-нию Гельмгольца приводят задачи дифракции.

Для полного описания процесса колебаний необходимо задать нач. возмущение и нач. скорость

3012-95.jpg

а для процесса диффузии - только нач. возмущение

3012-96.jpg

Кроме того, на границе S области G необходимо удовлетворить заданному режиму. В простейших случаях граничные условия для ур-ний (1), (3), (5) описывают соотношением

3012-97.jpg

где Ic и h- заданные неотрицательные ф-ции, не обращающиеся в нуль одновременно, h- внеш. нормаль к поверхности 3012-98.jpg- заданная ф-ция. В случае неогранич. областей, напр, внешности огранич. области, кроме условия на границе задают также условие на бесконечности. Напр., для ур-ния Гельмгольца (8) на бесконечности задают Зоммерфельда условия излучения.

Краевая задача, к-рая содержит только нач. условия (и, стало быть, не содержит граничных условий, так что область G - всё пространство 3012-99.jpg, наз. Коши задачей. Для ур-ния (1) задача Коши (1), (9) ставится след, образом: найти ф-цию 3012-100.jpgудовлетворяющую ур-нию (1) при 3012-101.jpgи нач. условиям (9) на плоскости 3012-102.jpg . Аналогично ставится и задача Коши (3), (10) для ур-ния диффузии (3).

Если в краевой задаче присутствуют и нач., и граничные условия, то такая задача наз. смешанной задачей. Для ур-ния (1) смешанная задача (1), (9), (11) ставится так: найти ф-цию 3012-103.jpgудовлетворяющую ур-нию (1) в цилиндре 3012-104.jpg, нач. условиям (9) на его ниж. основании G и граничному условию (11) на его боковой поверхности 3012-105.jpg. Аналогично ставится смешанная задача (3), (10), (11) для ур-пия диффузии (3). Существуют и др. постановки краевых задач.

Для стационарного ур-ния (5) нач. условия отсутствуют и соответствующая краевая задача ставится так: найти ф-цию 3012-106.jpg удовлетворяющую ур-нию (5) в области G и граничному условию на границе S области G:


3012-107.jpg


Для ур-ния (5) краевая задача с граничным условием 3012-108.jpg наз. Дирихле задачей, а с граничным условием

3012-109.jpg - Неймана задачей. Различают внеш. и внутр. краевые задачи Дирихле и Неймана. Для внеш. задач кроме граничных условий необходимо задавать условия на бесконечности.

К краевым задачам для ур-ния (5) относятся также задачи на собств. значения: найти те значения параметра 3012-110.jpg (собств. значения), при к-рых однородное ур-ние

3012-111.jpg


имеет нетривиальные решения (собств. ф-ции), удовлетворяющие однородному граничному условию


3012-112.jpg


Если G - огранич. область с достаточно гладкой границей S, то существует счётное число неотрицательных собств. значений 3012-113.jpg, ... задачи (12), (13)3012-114.jpg

3012-115.jpg , каждое 3012-116.jpg - конечной кратности; соответствующие собств. ф-ции 3012-117.jpg

3012-118.jpg образуют полную ортонормиров. систему ф-ций; при этом всякая ф-ция, удовлетворяющая граничному условию (13), разлагается в регулярно сходящийся ряд Фурье по системе собств. ф-ций 3012-119.jpg


Обобщённые задачи. Изложенные постановки краевых задач предполагают достаточную гладкость решения внутри области вплоть до границы. Такие постановки краевых задач наз. классическими. Однако во MH. физ. задачах приходится отказываться от требований гладкости. Внутри области решение может быть обобщённой функцией и удовлетворять ур-нию в смысле обобщенных ф-ций, краевые условия могут удовлетворяться в к.-л. обобщённом смысле. Такие краевые задачи наз. обобщёнными, а соответствующие решения - обобщёнными решениями. Напр., обобщённая задача Коши для волнового ур-ния ставится след. образом. Пусть 3012-120.jpg- классич. решение задачи Коши (2), (9). Ф-ции и и f продолжим нулём на 3012-121.jpgи обозначим их 3012-122.jpgсоответственно. Тогда ф-циябудет 3012-123.jpg удовлетворять в смысле обобщённых ф-ций во всём пространстве 3012-124.jpg волновому ур-нию


3012-125.jpg


При этом нач. возмущения uo и и 1 играют роль мгновенно действующих внеш. источников типа двойного слоя, 3012-126.jpg , и простого слоя,3012-127.jpg. Сказанное позволяет ввести след, определение. Обобщённой задачей Коши для волнового ур-ния с источником F (обобщённая ф-ция F=0при t < 0) наз. задача об отыскании тех обобщённых решений 3012-128.jpgвволнового 3012-129.jpg ур-ния


3012-130.jpg


к-рые обращаются в нуль при t< 0. Аналогично ставится обобщённая задача Коши и для ур-ния теплопроводности (4).

Поскольку краевые задачи матем. физики описывают реальные физ. процессы, то они должны удовлетворять след, естеств. требованиям, сформулированным Ж. Ада-маром (J. Hadamard): 1) решение должно существовать в нек-ром классе ф-ций M1;2) решение должно быть единственным, возможно в др. классе ф-ций 3012-131.jpg 3) решение должно непрерывно зависеть от данныхзадачи (нач. и граничных данных, свободных членов, коэф. ур-ния и т. д.). Требование непрерывной зависимости решения возникает в связи с тем, что данные физ. задачи, как правило, определяют из эксперимента приближённо, поэтому необходимо быть уверенным в том, что решение задачи не будет существенно зависеть от погрешностей измерений.

Задача, удовлетворяющая перечисленным требованиям 1-3, наз. корректно поставленной, а множество ф-ций 3012-132.jpg- классом корректности. Хотя требования 1-3, на первый взгляд, кажутся естественными, их тем не менее необходимо доказывать в рамках принятой матем. модели. Доказательство корректности - первая проверка матем. модели: модель непротиворечива, не содержит паразитных решений и мало чувствительна к погрешностям измерений.

Нахождение корректных постановок краевых задач матем. физики и методов построения их решений (точных или приближённых) и составляет одно из главных содержаний предмета M. ф. у. Известно, что все перечисленные выше краевые задачи поставлены корректно.

Задача, не удовлетворяющая хотя бы одному из условий 1-3, наз. некорректной задачей. Некорректные задачи приобретают в математической физике всё возрастающее значение: к ним в первую очередь относятся обратные задачи, а также задачи, связанные с обработкой и интерпретацией результатов наблюдений.

Важную роль в M. ф. у. играет понятие Грина функции. Ф-цией Грина линейного дифференциального оператора


3012-133.jpg


с заданными (однородными) краевыми условиями на границе области изменения переменных 3012-134.jpg наз. ф-ция 3012-135.jpg, удовлетворяющая при каждом 3012-136.jpg из этой области ур-нию

3012-137.jpg

В физ. ситуациях ф-ция Грина 3012-138.jpg) описывает возмущение от точечного (в точке 3012-139.jpg мгновенного (в момент 3012-140.jpg источника единичной интенсивности (с учётом неоднородности среды и краевого эффекта). В случае постоянных коэф. и отсутствия границы ф-ция Грина при 3012-141.jpgи 3012-142.jpgназ. фундаментальным решением и обозначается 3012-143.jpg

3012-144.jpg

Доказано существование фундам. решения для любого оператора 3012-145.jpg

С помощью фундам. решения 3012-146.jpgрешение 3012-147.jpg ур-ния

3012-148.jpg

с произвольной правой частью F (обобщённая ф-ция) выражается во всем пространстве 3012-149.jpg свёрткой

3012-150.jpg

В этом состоит сущность метода точечного источника решения линейных задач матем. физики.

Методы решения. Для исследования и приближённого решения смешанных задач используют разделения переменных метод (метод Фурье) при условии, что коэф. в ур-нии и в граничном условии не зависят от времени t. Идея метода, напр, применительно к задачам (3), (10), (13), состоит в следующем: искомое решение 3012-151.jpg и правую часть 3012-152.jpg разлагают в ряд Фурье

по собств. ф-циям 3012-153.jpg краевой задачи (12), (13):

3012-154.jpg

Подставляя эти ряды в ур-ние (3), для неизвестных ф-ций 3012-155.jpg получают ур-иие

3012-156.jpg

При этом, чтобы ряд (17) для и удовлетворял нач. условию (10), необходимо положить

3012-157.jpg

Решая задачу Коши (18), (19), получают формальное решение задачи (3), (10), (13) в виде ряда

3012-158.jpg

Возникает задача обоснования метода Фурье: когда формальный ряд (20) даёт классич. или обобщённое решение задачи (3), (10), (13)? Аналогично метод Фурье применяют и к смешанной задаче (1), (9), (13).

Метод разделения переменных находит применение также и для решения краевых задач для ур-ння эл-липтич. типа (5). При исследовании и приближённом решении краевых задач для ур-ния (5) используют вариац. методы. Так, напр., для задачи на собств. значения (12), (13) (при r = 1) собств. значения lR удовлетворяют вариац. принципу:


3012-159.jpg


где ф-ции сравнения и3012-160.jpgудовлетворяют (13); при этом inf в (21) реализуется на любой собств. ф-ции, соответствующей собств. значению 3012-161.jpg, и только на ней.

Перечисленные краевые задачи не исчерпывают всё многообразие краевых задач матем. физики, это простейшие классич. примеры краевых задач. Краевые задачи, описывающие реальные физ. процессы, могут быть сложными: системы ур-ний, ур-ния высших порядков, нелинейные ур-ння. К ним в первую очередь относятся ур-ние Шрёдингера, ур-ния гидродинамики, переноса, магн. гидродинамики, ур-ния Максвелла, теории упругости, yp-ния Дирака, ур-ния Гильберта - Эйнштейна, ур-ния Янга - Миллса и др. В связи с поисками нетривиальных моделей, описывающих взаимодействие квантовых полей, возрос интерес к классич. нелинейным ур-ниям (см. Нелинейные уравнения математической физики).

Лит.: Тихонов A. H., Самарский А. А., Уравнения математической физики, 5 изд., M., 1977; Курант Р., Уравнения с частными производными, пер. с англ., M., 1964; Владимиров В. С., Уравнения математической физики, 5 изд., M., 1988; его же, Обобщённые функции в математической физике, 2 изд., M., 1979; Ладыженская О. А., Краевые задачи математической физики, M., 1973; Тихонов А. Н.,Арсенин В. Я., Методы решения некорректных задач, 3 изд., M., 1986; Михайлов В. П., Дифференциальные уравнения в частных производных, 2 изд., M., 1983; Рид M., Саймон Б., Методы современной математической физики, пер. с англ., т. 1-4, M., 1977-82; Адамар Ж., Задача Коши для линейных уравнений с частными производными гиперболического типа, пер. с франц., M., 1978; Pихтмайер Р., Принципы современной математической физики, пер. с англ., т. 2, M., 1984. В. С. Владимиров.

Физическая энциклопедия. В 5-ти томах. — М.: Советская энциклопедия. . 1988.


.

Смотреть что такое "МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ УРАВНЕНИЯ" в других словарях:

  • МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ УРАВНЕНИЯ — уравнения, описывающие математические модели физических явлений. М. ф. у. часть предмета математической физики. Многие явления физики и механики (гидро и газодинамики, упругости, электродинамики, оптики, теории переноса, физики плазмы, квантовой… …   Математическая энциклопедия

  • МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ УРАВНЕНИЯ — дифференц. ур ния с частными производными, интегральные и нек рые др. типы ур ний, к к рым приводит матем. анализ физ. явлений. М. ф. у. есть матем. выражение физ. законов, а входящие в них величины имеют непосредств. физ. смысл. Наиболее важны… …   Большой энциклопедический политехнический словарь

  • УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ — дифференциальные уравнения с частными производными, интегральные уравнения, к которым приводит математический анализ физических явлений. См., напр., Волновое уравнение, Лапласа уравнение, Теплопроводности уравнение …   Большой Энциклопедический словарь

  • Уравнения математической физики —         дифференциальные уравнения с частными производными, а также некоторые родственные уравнения иных типов (интегральные, интегро дифференциальные и т.д.), к которым приводит математический анализ физических явлений. Для теории У. м. ф.… …   Большая советская энциклопедия

  • уравнения математической физики — дифференциальные уравнения с частными производными, интегральные уравнения, к которым приводит математический анализ физических явлений. См., например, Волновое уравнение, уравнение Лапласа, уравнение теплопроводности. * * * УРАВНЕНИЯ… …   Энциклопедический словарь

  • УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ — дифференциальные ур ния с частными производными, интегральные ур ния, к к рым приводит матем. анализ физ. явлений. См., напр., Волновое уравнение, Лапласа уравнение, Теплопроводности уравнение …   Естествознание. Энциклопедический словарь

  • Кафедра дифференциальных уравнений и математической физики РУДН — одна из трех выпускающих кафедр по направлению Математика. Прикладная математика . Содержание 1 История кафедры 2 Читаемые курсы …   Википедия

  • НЕЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ — ур ния, не обладающие свойством линейности; применяются в физике как матем. модели нелинейных явлений в разл. сплошных средах. Н. у. м. ф. важная часть матем. аппарата, используемого в фундам. физ. теориях: теории тяготения и квантовой теории… …   Физическая энциклопедия

  • Уравнения мелкой воды —     Механика сплошных сред …   Википедия

  • Уравнения Максвелла —     Классическая электродинамика …   Википедия

Книги

Другие книги по запросу «МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ УРАВНЕНИЯ» >>