- ПРИБЛИЖЕНИЕ
- ПРИБЛИЖЕНИЕ
-
- приближённый метод решения дифференц. ур-ний, содержащих случайные параметры; основан на малости отношения времени корреляции воздействий
ко времени корреляции отклика
Формально соответствует пределу
Непосредственно применим лишь к причинным задачам, в к-рых значения динамич. переменных в нек-рый момент времени функционально не зависят от последующих по времени значений случайных параметров. В физ. задачах M. п. п. является гл. членом разложения по малому параметру
и, в отличие от методов теории возмущений, допускает описание сильных флуктуации, возникающих в физ. системе под влиянием случайных воздействий.
Пусть поведение динамической системы описывается обыкновенными дифференц. ур-ниями:
Здесь
- детерминиров. ф-ции своих аргументов, а
- случайная ф-ция (n+1)
переменной, обладающая след, свойствами ((...) означает статистич. усреднение,
В ур-нии (1) случайна как сама ф-ция
при детерминиров. аргументах, так и ф-ции
входящие в аргумент
. Условия (2) - (4) накладываются на случайные f-ции
при детерминиров. аргументах.
Если реальную корреляц. ф-цию (3) заменить ф-цией вида
и считать, что входящие в (1) гауссовы случайные ф-ции характеризуются корреляц. ф-цией
то это соответствует замене истинного времени корреляции
нулём и эквивалентно переходу к M. п. п. При этом в (1) возникают два стремящихся к нулю временных масштаба: один - при вычислении производной
другой - при стремлении к нулю
Ниже предельный переход
совершают после выполнения перехода
т. е. предполагают, что
Ф-ции
находят из условия
При сделанных предположениях плотность вероятностей
решения системы (1) удовлетворяет Эйнштейна - Фоккера- Планка уравнению
где
по повторяющимся индексам производится суммирование. Совместная плотность вероятностей для величин
при
в этом случае
распадается на произведение
а ф-ция
(переходная вероятность) удовлетворяет по переменным х, t ур-нию (5) с нач. условием
T. о., случайный процесс
является марковским.
В реальных физ. задачах время корреляции флуктуации всегда конечно и вопрос о пригодности M. п. п. сводится к учёту конечности малого параметра
Одно из условий применимости M. п. п. всегда имеет вид
но обычно возникают и др. условия.
M. п. п. применимо и к причинным задачам, описываемым ур-ниями с частными производными, однако здесь уже нет такой универсальной формулировки, как для обыкновенных дифференц. ур-ний.
Задачи, описываемые дифференц. ур-ниями с двухточечными граничными условиями (напр., в задаче о распространении волны одно из граничных условий ставится в точке возбуждения волны, а второе описывает её отражение от нагрузки в конце), непосредственно нельзя описывать M. п. п. Однако в ряде случаев такие задачи можно свести к вспомогат. задачам Коши (методом инвариантного погружения или др. способами), после чего к ним применимо M. п. п.
Лит.: Кляцкин В. И., Татарский В. И., Приближение диффузионного случайного процесса в некоторых нестационарных статистических задачах физики, "УФН", 1973, т. НО, с. 499; Введение в статистическую радиофизику, ч. I - Pытов С. M., Случайные процессы, ч. 2 - Pытов С. M., Кравцов Ю. А., Татарский В. И., Случайные поля, M., 1976-78; Кляцкин В. И., Стохастические уравнения и волны в случайно неоднородных средах, M., 1980.
В. И. Татарский.
Физическая энциклопедия. В 5-ти томах. — М.: Советская энциклопедия. Главный редактор А. М. Прохоров. 1988.
.