ЛИ АЛГЕБРА

ЛИ АЛГЕБРА

- векторное пространство, на к-ром определена операция, называемая коммутированием. Для элементов алгебры определены линейные операции - сложение и умножение на число. Если допускается умножение на вещественные числа, то Л. а. наз. вещественной; если допускается умножение на комплексные числа, то Л. а. наз. комплексной. Операция коммутирования сопоставляет любым двум элементам алгебры X,третий элемент Эта операция билинейна (т. е. линейна по каждому аргументу), антисимметрична и удовлетворяет тождеству Якоби

Понятие "Л. а." возникло в связи с изучением групп Ли, т. к. элементы группы Ли можно представлять в виде экспонент от элементов Л. а. (см. Группа). Если группа Ли реализована как группа матриц, то соответствующая ей Л. а. также является матричной. Это значит, что каждый элемент алгебры является матрицей, а операция коммутирования определяется как обычный коммутатор:

Основные понятия. Если в векторном пространстве А выбран базис Х ₁ . . ., X_n. (т. е. полный набор линейно независимых элементов), то для определения на А структуры Л. а. достаточно задать попарные коммутаторы базисных элементов, т. е. коэф. в ф-ле Тогда коммутаторы произвольных элементов пространства А однозначно определяются тем, что каждый такой элемент можно представить в виде линейной комбинации базисных элементов и что операция коммутирования является билинейной. Коэф. наз. структурными константами данной Л. а. Они зависят от выбора базиса, но при любом выборе являются антисимметричными по нижним индексам и удовлетворяют условию

Гомоморфизмом или представлен и-е м алгебры Ли А₁ в алгебру Ли А₂. наз. такое линейное отображение (т. е. отображение, сохраняющее линейные операции), к-рое согласовано с операциями коммутирования в обеих алгебрах: Ядром гомоморфизма наз. подмножество в алгебре A₁, к-рое под действием j переходит в нулевой элемент алгебры А₂. Если отображение взаимно однозначно, то оно наз. изоморфизмом или точным представлением. В этом случае ядро отображения равно нулю. Всякая конечномерная Л. а. допускает точное представление в алгебру матриц (теорема А д о). Ввиду тесной связи, существующей между Л. а. и группами Ли, задача изучения представлений групп Ли в большой мере сводится к изучению представлений Л. а. Именно этим объясняется прикладное значение теории Л. а. и их представлений (см. Представление группы).

Если ввести в рассмотрение матрицы С _i с матричными элементами, равными структурным константам, то условие на структурные константы, приведённое выше, можно переписать в виде где скобки обозначают обычный коммутатор двух матриц. Т. о., матрицы С _i осуществляют n -мерное представление базисных элементов X_i, а их линейные комбинации - представление всей Л. а. Это т. н. присоединённое представление adX. Совокупность элементов, коммутирующих со всеми элементами алгебры, наз. центром Л. <а.

Подмножество в Л. а. наз. подалгеброй Ли, если оно само является Л. а. относительно тех же операций. Это значит, что В- линейное подпространство, и операция коммутирования не выводит из В. Последнее можно записать символически: Если для подпространства выполняется более сильное условие то В наз. идеалом в А. Если В - идеал, то фактор-пространство А/В, элементами к-рого являются классы Х+В (т. е. множества элементов вида X+Y, где У пробегает всё В), само является Л. а. Операции в этой фактор-алгебре определяются естеств. образом, т. е. с помощью операций, совершённых над любыми представителями классов, напр.

Любая Л. а. содержит тривиальные (несобственные) идеалы. Один из них совпадает со всей Л. а., второй состоит лишь из нулевого элемента. Если Л. а. не содержит идеалов, отличных от этих (т. е. не содержит собств. идеалов), то она иаз. простой. Алгебра наз. полупростой, если она не имеет нетривиальных коммутативных идеалов (т. е. таких, в к-рых все коммутаторы обращаются в нуль). Всякая полупростая Л. а. представляется в виде прямой суммы простых Л. а.

Л. а. А наз. разрешимой, если в ней существует такая цепочка подалгебр что А _{i+ 1} -идеал в А; и фактор-алгебра A_i/A_i+1 коммутативна. Если, кроме того, все A_i - идеалы в А и фактор-алгебра A_i/A_i+1 принадлежит центру фактор-алгебры A/A_i+1, то алгебра А наз. нильпотентной.

На Л. а. можно ввести внутр. произведение, определив его равенством (X, У)=Тr(аd Х*adY), где Тr означает след оператора (матрицы). Эта симметричная (относительно перестановки аргументов) билинейная форма наз. формой Киллинга. Если воспользоваться матричной реализацией присоединённого представления, можно выразить форму Киллинга через коэф. х ⁱ, у ⁱ разложения элементов X, Y по базису. Получим где симметричный тензор наз. метрическим тензором Картана алгебры А. Для нек-рых Л. а. метрич. тензор и форма Киллинга могут быть вырождены, т. е. det = 0 (это имеет место, напр., для коммутативных л. а.). Форма Киллинга невырождена только для полупростой Л. а. (критерий Картана).

Для комплексных простых Л. а. всегда можно выбрать базисные элементы X_i- таким образом, чтобы структурные константы были чисто мнимыми и антисимметричными по всем парам индексов. Такой набор наз. базисом Картана. При этом ранг алгебры Л и l определяется как макс. число коммутирующих элементов в базисе Картана, l -мерная коммутативная подалгебра, натянутая на это множество элементов, наз. подалгеброй Картана,

Классификация алгебр Ли. Имеется четыре серии простых комплексных Л. а. конечной размерности: A_l, B_l, С _l, D_l и кроме этого пять исключительных алгебр G₂, F₄, Е ₆, E₇, E₈ (индексы везде обозначают ранг алгебры). Каждая комплексная Л. а. имеет единственную вещественную подалгебру, являющуюся Л. а. компактной группы Ли. Перечислим компактные группы, соответствующие сериям. Алгебра А _l, l=1, 2, . . ., имеет размерность n=(l+l)²-1 и связана с группой SU(l+1 )унитарных унимодулярных (т. е. имеющих единичный детерминант) (l+1)-рядных матриц. Алгебра B_l, l=2,3, . . ., имеет размерность n= =l(2l+1) и связана с группой SO(2l+1) ортогональных унимодулярных матриц порядка 2l+1. Случай l=l исключается, т. к. В ₁=А ₁. Алгебра С _г, 1=3,4, . . ., имеет размерность п=l(2l+1) а связана с симплектической группой Sp (21 )(т. е. группой преобразований, сохраняющих невырожденную антисимметричную билинейную форму в пространстве размерности 21). При l=1 и 2 имеет место совпадение C_l=B_l. Алгебра D_l, l=4, 5, . . ., имеет размерность n=2l²-l и связана с группой SO (2l). Низшие размерности исключаются, т. к. D₃=A₃,a D₁ и D₂. не являются простыми. Группы SU(n), SO(n), Sp(n), порождаемые бесконечными сериями Л. а., наз. классическими группами.

Каждая комплексная простая Л. а. имеет неск: вещественных форм (т. е. таких вещественных Л. а., из к-рых данная Л. а. получается комплексификацией). Лишь одна из них соответствует компактной группе Ли. Остальные приводят к некомпактным группам. Напр., среди вещественных форм комплексной алгебры A_l есть такие, к-рые соответствуют группам SU(p, q), p+q=l+1, псевдоунитарных матриц, т. е. преобразований в. комплексном (l+1 )-мерном пространстве. сохраняющих форму Вещественные формы алгебры B_l порождают группы псевдовращений или псевдоортогональных преобразований SO(p, q),p+g=2l+l. Это преобразования обобщённого пространства Минковского с р пространственными и q временными измерениями. Вещественные формы в C_l порождают группы Sp(2p, 2q), p+q=l. Такую группу можно определить как подгруппу в группе SU(2p, 2q), оставляющую инвариантной антисимметричную билинейную форму. Ещё одна вещественная форма в С _l состоит из антиэрмитовых матриц и порождает группу (2l). Вещественные формы в D_l порождают группы псевдовращений SO (p, q), p+q=2l.

Кроме перечисленных, имеются нек-рые специальные вещественные формы комплексных алгебр А _l и D_l. Приведённый список не полон с точки зрения классификации простых групп. Не каждая простая вещественная группа Ли является вещественной формой простой комплексной группы. Так, алгебра D_l не проста, и не проста соответствующая ей компактная подгруппа SO(4). Однако некомпактная группа SO(1, 3) (Лоренца группа )является простой. Её Л. а. изоморфна sl (2, С). Обобщением этого примера является целый класс простых вещественных Л. а.- это комплексные Л. а., рассматриваемые как вещественные.

Лит.: Джекобсон Н., Алгебры Ли, пер. с англ., М., 1964; Дубровин Б. А., Новиков С. П., Фоменко А. Т., Современная геометрия, 2 изд., М., 1986.

А. А. Кириллов, М. Б. Менский.

Физическая энциклопедия. В 5-ти томах. — М.: Советская энциклопедия. Главный редактор А. М. Прохоров. 1988.