КРАЕВАЯ ЗАДАЧА

КРАЕВАЯ ЗАДАЧА
КРАЕВАЯ ЗАДАЧА

- задача выделения ф-ции, удовлетворяющей заданному условию на границе нек-рой области, из класса ф-ций, определённых в этой области. Обычно класс ф-ций является набором решений (общим решением) данного дифференц. ур-ния. Если речь идёт о системе ур-ний для неск. искомых ф-ций, К. з. формулируется для всей их совокупности.

В физ. примерах дифференц. ур-ние служит матем. выражением закона, к-рому подчиняется поведение физ. системы. Общее решение описывает все варианты поведения, а для однозначного выделения частного решения необходимо наложить дополнит. условия - поставить К. з. Конкретные формулировки К. з. диктуются физ. соображениями.

Эволюция одномерной системы описывается обыкновенным дифференц. ур-нием, независимой переменной служит время t, а областью определения решений является временной интервал (иногда полубесконечный). Однозначное решение ур-ния порядка п фиксируется п условиями; напр., можно задать значение ф-ции и её п-1 младших производных в нач. момент t0 (нач. условия). Аналогично ставится К. з. для системы обыкновенных дифференц. ур-ний в многомерном случае.

Полевую (бесконечномерную) систему описывают дифференц. ур-ния в частных производных (в большинстве случаев - не старше 2-го порядка, поскольку только для таких развиты эфф. методы решений). Независимыми переменными могут быть время и k пространственных координат (k=l, 2, 3 в линейном, плоском, объёмном случае); область определения решений k+ 1-мерна: это - цилиндр с образующей вдоль оси времени и k- мерным пространственным основанием G. В стационарном случае, когда нет зависимости от времени, решение ищется в пространственной области G.

В общем случае для получения однозначного решения необходимо задать нач. состояние системы при t-t0 (начальное условие) и режим на границе S области G (граничное условие). Общему случаю отвечает смешанная К. з. Если область G совпадает со всем k -мерным пространством, граничное условие отсутствует и К. з. сводится к Ноши задаче.

В стационарном случае дифференц. ур-ния обычного эллиптич. типа (см. Математической физики уравнения )К. з. сводится к граничному условию общего вида:

2530-5.jpg

где и(x) - искомая ф-ция, 2530-6.jpg - её производная по нормали к границе S, коэф. 2530-7.jpg и правая часть f заданы на границе S. При a=1, (b=0 К. з. сводится к Дирихле задаче, при 2530-8.jpg=0, 2530-9.jpg=1 - к Неймана задаче.

В релятивистской теории нач. условия на поверхности t=t0 физически ничем не выделены и задача Коши иногда ставится на произвольной пространственноподобной поверхности t=T(x).

Для решения К. з. развиты методы Грина функций, разложения по собственным ф-циям, последовательных приближений, вариационный и др.

Лит. см. при ст. Математической физики уравнения.

В. П. Павлов.

Физическая энциклопедия. В 5-ти томах. — М.: Советская энциклопедия. . 1988.


.

Смотреть что такое "КРАЕВАЯ ЗАДАЧА" в других словарях:

  • КРАЕВАЯ ЗАДАЧА — часто встречающаяся в математической физике задача, в которой из класса функций, определенных в данной области, требуется найти функцию, удовлетворяющую на границе (крае) этой области заданным условиям …   Большой Энциклопедический словарь

  • Краевая задача — Краевая задача  дифференциальное уравнение (система дифференциальных уравнений) с заданными линейными соотношениями между значениями искомых функций на начале и конце интервала интегрирования. Решение краевой задачи ищется в виде линейной… …   Википедия

  • краевая задача — — [http://www.iks media.ru/glossary/index.html?glossid=2400324] Тематики электросвязь, основные понятия EN boundary value problem …   Справочник технического переводчика

  • КРАЕВАЯ ЗАДАЧА — теории потенциала основная задача потенциала теории как классической, так и абстрактной. Поскольку классические ньютонов и логарифмич. потенциалы удовлетворяют определенным дифференциальным уравнениям с частными производными эллиптич. типа, а… …   Математическая энциклопедия

  • КРАЕВАЯ ЗАДАЧА — для уравнения с частными производными задача определения в нек рой области Dпеременных решения u(x) уравнения удовлетворяющего на границе Sэтой области (или ее части) определенным краевым условиям Как правило, краевые условия связывают граничные… …   Математическая энциклопедия

  • краевая задача — часто встречающаяся в математической физике задача, в которой из класса функций, определённых в данной области, требуется найти функцию, удовлетворяющую на границе (крае) этой области заданным условиям. * * * КРАЕВАЯ ЗАДАЧА КРАЕВАЯ ЗАДАЧА, часто… …   Энциклопедический словарь

  • краевая задача — kraštinis uždavinys statusas T sritis Energetika apibrėžtis Uždavinys, kai iš galimo begalinio funkcijų skaičiaus reikia rasti funkciją, kuri sutinka su nurodytomis ribinėmis sąlygomis. atitikmenys: angl. boundary problem vok. Randwertaufgabe, f; …   Aiškinamasis šiluminės ir branduolinės technikos terminų žodynas

  • краевая задача — kraštinis uždavinys statusas T sritis automatika atitikmenys: angl. boundary value problem vok. Randwertproblem, n rus. краевая задача, f pranc. problème aux limites, m …   Automatikos terminų žodynas

  • краевая задача — kraštinis uždavinys statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. boundary problem; boundary value problem vok. Randwertaufgabe, f; Randwertproblem, n rus. граничное задание, n; краевая задача, f pranc. problème aux limites, m …   Fizikos terminų žodynas

  • КРАЕВАЯ ЗАДАЧА — для эллиптического уравнения задача отыскания регулярного в области Dрешения иэллиптического уравнения удовлетворяющего нек рым дополнительным условиям на границе Г области D. Классические К. з. являются частными случаями следующей задачи: найти… …   Математическая энциклопедия

Книги

Другие книги по запросу «КРАЕВАЯ ЗАДАЧА» >>


Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»