ИНТЕГРАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ


ИНТЕГРАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ
ИНТЕГРАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ

- ур-ние, содержащее неизвестную ф-цию под знаком интеграла. Их принято разделять на две большие группы: линейные и нелинейные И. у. Линейным И. у. наз. ур-ние вида
008-75.jpg
где А, К, f - заданные ф-ции, j - неизвестная ф-ция, D - область евклидова пространства. Ф-ция К наз. ядром И. у., ф-ция f - свободным членом. Интегрирование в (1) производится по всему объёму области D, ds - элемент объёма. Если свободный член f=0, то ур-ние (1) наз. однородным, в противном случае - неоднородным. Кроме того, И. у. различают по типу. Если A(x)=0 в области D, то ур-ние (1) наз. И. у. 1-го рода; если A(x)№0для всех точек области D,- И. у. 2-го рода; если А(х )обращается в нуль на нек-ром подмножестве области D,- И. у. 3-го рода. <Аналогично записывают систему линейных И. у., когда А, К - матрицы-функции, а f и j - вектор-функции. И. у. появились в нач. 19 в., общая теория построена в кон. 19 - нач. 20 вв. в работах В. Вольтерры (V. Volterra), Э. Фредгольма (Е. Fredholm), Д. Гильберта (D. Hilbert) и Э. Шмидта (Е. Schmidt).В одномерном случае на отрезке [а, b] И. у. 1-го и 2-го рода записывают в виде
008-76.jpg
Число lназ. параметром И. у. Налагая дополнит, ограничения на известные ф-ции И. у., в частности на ядро К, выделяют класс Фредгольма уравнений. Напр., к ур-ниям Фредгольма приводит свойство квадратичной интегрируемости ядра, свободного члена и искомойф-ции, т. е.
008-77.jpg008-78.jpg
Комплексное значение параметра l, при к-ром ур-ние (3) с нулевым свободным членом (f=0) имеет решение, наз. характеристическим или собственным числом (значением) ядра К или И. у. Ненулевое решение ур-ния (3) при f=0 наз. характеристической или собственнойфункцией ядра К или И. у., принадлежащей собств. числу l. Если lне является собств. значением ядра К, то его наз. правильным (регулярным) значением (числом) ядра К. Если ядро К(х, s )обращается в нуль при x<s (т. н. ядро Вольтерры), то ур-ния (2), (3) перепишутся в виде
008-79.jpg
и наз. Вольтерры уравнениями1-го и 2-го рода соответственно. <И. у. Фредгольма 2-го рода
008-80.jpg
где 008-81.jpg - эрмитово сопряжённое ядро, * означает комплексное сопряжение, наз. союзным к ур-нию (3). Для ур-ний Фредгольма с непрерывным ядром доказана совокупность теорем, дающих общие сведения о решениях. Из этих теорем следует, что множество собств. значений непрерывного ядра не более чем счётно и не имеет конечных предельных точек. (Непрерывные ядра Вольтерры вообще не имеют собств. чисел.) Кроме того, каждому собств. числу l, соответствует конечное число (наз. к. <ратностью собств. значения) линейно независимых собств. ф-ций. <В терминах собств. чисел и собств. ф-ций результаты Фредгольма формулируют в след, форме. Пусть lk и rk/(k=1,2, ...) - собств. числа и соответств. этим собств. числам кратности. Если l№lk,то И. у. (3) и (4) однозначно разрешимы при любых свободных членах. Если l=lk, то однородные И. у., соответствующие ур-ниям (3) и (4), имеют одинаковое (конечное) число rk линейно независимых решений: собств. ф-ций jk, jk+1,...,jk+rk-1 ядра К и собств. ф-ций yk, yk+1, ...,yk+rk-1 ядра 008-82.jpg, соответствующих собств. значениям lk и lk*. Если l=lk, то для разрешимости ур-ния (3) необходимо и достаточно, чтобы (f, yk+i)=0, i= 0, 1, . . ., rk-1. При достаточно малых lрешение ур-ния Фредгольма можно найти методом последоват. приближений, решение записывают в виде ряда Неймана. <Результаты Фредгольма распространяются на И. у. с полярным ядром 008-83.jpg , где L(х,s) - непрерывное ядро, a<1. Ядро К(х, s )И. у. наз. вырожденным, еслионо представимо в виде суммы:В этом случае И. у. Фредгольма
008-84.jpg
2-го рода сводится к системе линейных алгебраич. ур-ний для mнеизвестных. Для И. у. с веществ, симметричным ядром К (х,s) = K(s, х )справедлива теория Гильберта - Шмидта. При f=0 ур-ние (3) имеет, по крайней мере, одно собств. число, собств. числа действительны; каждая пара собств. ф-ций j1( х )и j2(x), соответствующих разл. собств. числам l1№l2, ортогональна, т. е.
008-85.jpg
; ввиду действительности ядра можно выбирать и действит. собств. ф-ции; в каждом конечном интервале оси lнаходится конечное число собств. чисел, каждому собств. числу lk соответствует конечное число rk линейно независимых собств. ф-ций. Множество всех собств. чисел ур-ния (3) наз. спектром этого ур-ния. <Собств. ф-ции и собств. числа можно расположить в виде последовательностей l1, l2, . . ., lm, . . .; j1, j2,. . ., jm, ... в порядке возрастания абс. величины собств. чисел |lk|[|lk+1|. Собств. число lk повторяется в последовательности rk раз, последовательность {jm} можно выбрать ортонормированной. Ядро можно разложить по системе собств. ф-ций {jm} ядра К(х, s) в билинейный ряд
008-86.jpg
Для решения неоднородного ур-ния (3) имеются след. теоремы: если l не совпадает ни с одним собств. числом ядра К, то ур-ние (3) имеет единств, решение j, к-рое даётся ф-лой
008-87.jpg
где lk - собств. число,
008-88.jpg - коэф. Фурьеф-ции f относительно ортонормиров. системы собств. ф-ций {jm}; если же X совпадает с одним из собств. чисел, напр. l=lk, ранга rk, то ур-ние (3) разрешимо лишь в том случае, если выполняются rk условий:
008-89.jpg
т. е. если ф-ция f ортогональна собств. ф-циям jm, принадлежащим собств. числу lk. В этом случае ур-ние (3) имеет бесконечно много решений, к-рые содержат rk произвольных постоянных и выражаются ф-лой
008-90.jpg
lk№lj, где с 0, c1, ..., crk-1- произвольные постоянные. Для вырожд. ядер (не обязательно симметричных) , ряды (5), (6) содержат лишь конечное
008-91.jpg
число членов. Ф-лы (5), (6) наз. формулами Шмидта. <Теорию Гильберта-Шмидта можно распространить с нек-рыми изменениями и на комплекснозначные ф-ции. Аналогом симметричного ядра становится эрмитово ядро К(х, s)=K*(s, x). Существует также обобщение этой теории на случай полярного ядра К(х, s)=L(x,s)|x-s|-a, где L(x, s) - непрерывное ядро, a<1. Краевые задачи и задачи на собств. значения для эрмитовых дифференц. операторов сводятся к И у. с симметричными ядрами. Поэтому теория Гильберта - Шмидта важна для квантовой механики, она позволяет исследовать спектры разл. операторов, используется в теории рассеяния, даёт возможность найти решения ур-ния Шрёдингера для нек-рых потенциалов. <При решении И. у., ядро к-рых зависит от разности аргументов (И. у. типа свёртки), эффективным оказывается применение интегральных преобразований (Фурье или Лапласа) и основанного на них Винера-Хопфа метода. Для И. у. вида
008-92.jpg
удобно применять Меллина преобразование. Во всех указанных случаях И. у. приводится к алгебраич. ур-нию, а решение фактически сводится к задаче обращения интегрального преобразования. <Для И. у. 1-го рода нет общей теории, однако в нек-рых частных случаях их решение может быть найдено, напр, ур-ния Вольтерры 1-го рода удаётся свести к ур-ниям Вольтерры 2-го рода. <Линейные И. у. с ядрами, не являющимися ядрами Фредгольма, наз. сингулярными интегральными уравнениями. В этом случае теория Гильберта-Шмидта, вообще говоря, не применима. Однако для нек-рых конкретных классов сингулярных ур-ний удаётся получить важные общие результаты (см., напр., Гильберта преобразование). И. у., содержащие неизвестную ф-цию нелинейно, наз. нелинейными интегральными уравнениями. Для нек-рых типов нелинейных И. у. разработана достаточно полная теория. Исследовано ветвление решений нелинейных И. у.: найдена зависимость решения от параметров И. у., получены значения параметров, при к-рых решение разветвляется, найдено число ветвей и представление каждой ветви как ф-ции параметров. Важность И. у. для матом, физики определяется тем, что краевые задачи и задачи на собств. значения для дифференц. ур-ний можно свести при помощи Грина функций к И. у. Лит.:Мусхелишвили Н. И., Сингулярные интегральные уравнения, 3 изд., М., 1968; Три коми Ф., Интегральные уравнения, пер. с англ., М., 1960; Владимиров В. С., Уравнения математической физики, 5 изд., М., 1988; Интегральные уравнения, М., 1968; Вайнберг М. М., Треногий В. А., Теория ветвления решений нелинейных уравнений, М., 1969. С. В. Молодцов.

Физическая энциклопедия. В 5-ти томах. — М.: Советская энциклопедия. . 1988.


.

Смотреть что такое "ИНТЕГРАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ" в других словарях:

  • ИНТЕГРАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ — уравнение, содержащее искомую функцию под знаком интеграла. И. у. делятся на два основных класса: линейные И. у. и нелинейные И. у. Линейные И. у. имеют вид где А, К, f заданные функции, из которых Аназ. коэффициентом, К ядром, f свободным членом …   Математическая энциклопедия

  • ИНТЕГРАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ — воспроиз ва населения, матем. уравнение, устанавливающее связь между числ. и возрастной структурой нас., с одной стороны, и возрастными интенсивностями рождаемости и смертности с другой. Введено А. Дж. Лоткой в серии работ 1907 39. И. у. имеет… …   Демографический энциклопедический словарь

  • интегральное уравнение — — [http://www.iks media.ru/glossary/index.html?glossid=2400324] Тематики электросвязь, основные понятия EN integral equation …   Справочник технического переводчика

  • Интегральное уравнение — Интегральное уравнение  функциональное уравнение, содержащее интегральное преобразование над неизвестной функцией. Если интегральное уравнение содержит также производные от неизвестной функции, то говорят об интегро дифференциальном… …   Википедия

  • интегральное уравнение — уравнение, содержащее неизвестную функцию под знаком интеграла. * * * ИНТЕГРАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ ИНТЕГРАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ, уравнение, содержащее неизвестную функцию под знаком интеграла …   Энциклопедический словарь

  • интегральное уравнение — integralinė lygtis statusas T sritis automatika atitikmenys: angl. integral equation vok. Integralgleichung, f rus. интегральное уравнение, n pranc. équation intégrale, f …   Automatikos terminų žodynas

  • интегральное уравнение — integralinė lygtis statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. integral equation vok. Integralgleichung, f rus. интегральное уравнение, n pranc. équation intégrale, f …   Fizikos terminų žodynas

  • ИНТЕГРАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ — численные методы решения, методы нахождения приближенных решений И. у. Требуется найти решение ф (х)одномерного уравнения Фредгольма 2 го рода где f(x)непрерывна на [ а, b], X числовой параметр, К( х, s )непрерывна на Пусть lне является… …   Математическая энциклопедия

  • ИНТЕГРАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ — ур ние, содержащее неизвестную функцию под знаком интеграла …   Естествознание. Энциклопедический словарь

  • ИНТЕГРАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ ТИПА СВЕРТКИ — интегральное уравнение, содержащее искомую функцию под знаком интегрального преобразования свертки (см. Интегральный оператор). Особенностью И. у. т. с. является то, что ядра таких уравнений зависят от разности аргументов. Простейший пример… …   Математическая энциклопедия

Книги

Другие книги по запросу «ИНТЕГРАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ» >>


Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»

We are using cookies for the best presentation of our site. Continuing to use this site, you agree with this.