АВТОКОЛЕБАНИЯ

АВТОКОЛЕБАНИЯ

       

незатухающие колебания, поддерживаемые внеш. источниками энергии, в нелинейной диссипативной системе, вид и св-ва к-рых определяются самой системой. Термин «А.» введён в 1928 А. А. Андроновым.

А. принципиально отличаются от остальных колебат. процессов в диссипативной системе тем, что для их поддержания не требуется периодич. воздействий извне. Колебания скрипичной струны при равномерном движении смычка, тока в радиотехн. генераторе, воздуха в органной трубе, маятника в часах — примеры А. В простейших автоколебат. системах можно выделить колебат. систему с затуханием, усилитель колебаний, нелинейный ограничитель и звено обратной связи. Напр., в ламповом генераторе (генераторе Ван-дер-Поля — рис. 1) колебат. контур, состоящий из ёмкости С, индуктивности L и сопротивления R, представляет собой колебат. систему с затуханием, цепь катод — сетка и индуктивность L' образуют цепь обратной связи. Случайно возникшие в контуре LC малые собственные колебания через катушку L' управляют анодным током ia лампы, к-рый усиливает колебания в контуре при соответствующем взаимном расположении катушек L и L',— положительная обратная связь. Если потери в контуре меньше, чем вносимая таким образом в контур энергия, то амплитуда колебаний в нём нарастает. С увеличением амплитуды колебаний, вследствие нелинейной зависимости анодного тока iа от напряжения V на сетке лампы, поступающая в контур энергия уменьшается и при нек-рой амплитуде колебаний сравнивается с потерями. В результате устанавливается режим стационарных периодич. колебаний, в к-ром все потери энергии компенсирует анодная батарея. Т. о., для установления А. важна нелинейность, приводящая к ограниченности колебаний, т. е. нелинейность управляет поступлением и тратами энергии источника. Рассмотренный режим возникновения А., не требующий нач. толчка, наз. режимом мягкого возбуждения.

Встречаются системы с жёстким возбуждением А. Это такие системы, в к-рых колебания самопроизвольно нарастают только с нек-рой нач. амплитуды. Для перехода таких систем в режим стационарной генерации необходимо нач. возбуждение (толчок) с амплитудой, большей нек-рого критич. значения. Амплитуда и частота А. определяются только параметрами системы, что отличает их как от собств. колебаний, частота к-рых определяется параметрами системы, а амплитуда и фаза — нач. условиями, так и от вынужденных колебаний, амплитуда, фаза и частота к-рых определяются внеш. силой. Периодическому А. в фазовом пространстве соответствует замкнутая траектория, к к-рой стремятся все соседние траектории,— т. н. устойчивый предельный цикл.

Для автоколебат. систем с неск. степенями свободы характерны такие явления, как синхронизация колебаний и конкуренция колебаний. Внеш. синхронизация А., или «захватывание частоты» (т. е. установление А. с частотой и фазой, соответствующими частоте и фазе внеш. периодич. воздействия), широко используется для управления и стабилизации частоты мощных малостабильных генераторов с помощью высокостабильных маломощных (напр., в лазерах). Полоса захватывания — область расстроек между частотами собств. колебаний и внеш. сигнала, внутри к-рой устанавливается режим синхронизации,— расширяется при увеличении амплитуды внеш. воздействия. Вне границы захватывания устойчивый режим генерации с частотой внеш. силы сменяется режимом биений. Взаимная синхронизация колебаний используется, напр., при работе неск. генераторов на общую нагрузку.

Конкуренция колебаний (мод), т. е. подавление одних колебаний другими, в автоколебат. системе возможна, когда эти колебания черпают энергию из общего источника. При этом одна из нарастающих мод «организует» дополнительное нелинейное затухание для других. При очень слабой связи между автоколебат. модами они сосуществуют, не подавляя друг друга. При достаточно сильной связи выживает одна из них. При изменении соответствующих параметров в системах с конкуренцией мод переход от режима генерации одной из мод к режиму генерации другой моды происходит скачком и характеризуется эффектом затягивания. Благодаря эффекту конкуренции оказывается возможным, в частности, создание на базе многомодовых резонаторов генераторов монохроматич. колебаний (см. ЛАЗЕР).

Эффекты конкуренции и синхронизации во мн. случаях определяют возникновение в диссипативных неравновесных средах (распределённых системах) сложных, хорошо организованных (детерминированных) структур, напр, периодич. нелинейных волн, ячеистых структур (см. СИНЕРГЕТИКА).

В автоколебат. системах с одной степенью свободы возможны только простые периодич. А. В автоколебат. системах с неск. степенями свободы А. могут быть сложными периодическими и даже стохастическими. Стохастич. автоколебат. системы (пли генераторы шума) — это диссипативные системы, совершающие незатухающие хаотич. колебания (колебания со сплошным спектром) за счёт регулярных источников энергии. Примером такого генератора шума может служить ламповый генератор (рис. 1)

Рис. 1. Принципиальная схема лампового генератора: М — коэфф. взаимной индукции; Uc — напряжение смещения на сетке; Ua — напряжение анодной батареи.

, если в контур последовательно с индуктивностью добавить нелинейный элемент с невзаимно однозначной вольт-амперной хар-кой (рис. 2).

Рис. 2. Зависимость тока от напряжения элемента с невзаимно однозначной вольт-амперной хар-кой (напр., туннельного диода) — одно значение тока может соответствовать трём разл. значениям напряжения.

Получившийся генератор при определ. параметрах будет создавать колебания, неотличимые от случайных (стохастических). Примером стохастич. А. в распределённых системах служит гидродинамич. турбулентность, возникающая при течении жидкости с достаточно большими скоростями.

Физический энциклопедический словарь. — М.: Советская энциклопедия. Главный редактор А. М. Прохоров. 1983.

АВТОКОЛЕБАНИЯ

- незатухающие колебания в дис-сипативной нелинейной системе, поддерживаемые за счёт энергии внеш. источника, параметры к-рых (амплитуда, частота, спектр колебаний) определяются свойствами самой системы и не зависят от конечного изменения нач. условий. Термин "А." введён А. А. Андроновым в 1928.

А. принципиально отличаются от др. колебат. процессов в диссипативных системах тем, что для их поддержания не требуется колебат. воздействий извне. Примеры А.: колебания скрипичной струны при движении смычка, тока в радиотехн. генераторе, воздуха в органной трубе, маятника в часах. Возникают А. в результате развития колебат. неустойчивостей с их последующей стабилизацией из-за прекращения поступления энергии от источника или прогрессирующего возрастания потерь (диссипации). Режим стационарных А. определяется из условия энергетич. баланса - в ср. за период диссипативные траты энергии Q (I) (I - интенсивность А.) должны точно компенсироваться поступлением энергии W(I )от источника: .

Если в окрестности стационарного режима I₀ энергия потерь Q(I) при изменении I растёт быстрее, чем приток энергии W(I), то этот режим А., с энергетич. точки зрения, устойчив (рис. 1, а); если же быстрее увеличивается W(I), то стационарный режим неустойчив (рис. 1, б). Даже в тех случаях, когда можно ввести ф-ции Q и W, они обычно зависят не только от интенсивностей А., но и от их фаз, поэтому энергетич. метод определения устойчивости А. в общем случае неприменим. Системы, в к-рых А. возникают "самопроизвольно" - без нач. толчка, наз. системами с мягким режимом возбуждения; если для возникновения А. необходим конечный нач. толчок, то говорят о жёстком режиме возбуждения.

Рис. 1. Энергетическая схема установления автоколебаний: а - стационарный режим устойчив; б - стационарный режим неустойчив.

В простейших автоколебат. системах можно выделить колебат. систему с затуханием, усилитель колебаний, нелинейный ограничитель и звено обратной связи. Напр., в ламповом генераторе (генераторе Ван дер Поля, рис. 2, а, б )колебат. контур с потерями, состоящий из ёмкости С, индуктивности L и сопротивления R, представляет собой диссипативную колебат. систему, цепь катод - сетка и индуктивность L образуют цепь обратной связи.

Рис. 2. Схемы генераторов Ван дер Поля: а - с колебательным контуром в цепи анода; б - с колебательным контуром в цепи сетки; в - характеристика лампы.

Случайно возникшие в колебат. контуре малые собств. колебания через катушку L управляют анодным током лампы, к-рая является усилителем. При положит. обратной связи (т. е. при определённом взаимном расположении катушек L и L₁) в контур вносится определ. энергия. Если эта энергия больше энергии потерь в контуре, то амплитуда малых вначале колебаний в контуре нарастает. Поскольку анодный ток лампы зависит от напряжения на сетке нелинейным образом (рис. 2, в), то при нарастании амплитуды колебаний энергия, поступающая в контур, уменьшается и при нек-рой амплитуде колебаний становится равной энергии потерь. В результате устанавливается режим стационарных А., при к-ром внеш. источник (анодная батарея) компенсирует все потери энергии. Т. о., автоколебат. системы должны быть принципиально нелинейными - именно нелинейность не позволяет колебаниям безгранично нарастать, управляя поступлением и тратами энергии источника.

Чтобы определить характер А. и зависимость их амплитуды и формы от параметров системы, необходимо обратиться к анализу соответствующей математической модели. Для простейшего генератора (рис. 2, а) такой моделью служит уравнение Ван дер Поля

(1),

к-рое получается при пренебрежении сеточными токами лампы и аппроксимации её характеристики кривой, представленной на рис. 2, в. Это ур-ние записано в безразмерных переменных, где ; ; . Здесь - собств. частота колебат. контура, - параметр превышения над порогом генерации (при <0 потеря в контуре больше, чем вносимая энергия), характеризует амплитуду А., М- коэфф. взаимной индукции, S₀ и S₂ - параметры вольт-амперной характеристики усилит. лампы. Тот факт, что А. в рассматриваемой системе описываются диф-ференц. ур-нием 2-го порядка (его фазовое пространство - плоскость), сразу накладывает принцип. ограничения на вид А. В подобных системах возможны только периодич. А.

Геом. образом установившихся А. в фазовом пространстве системы служит аттрактор - траектория (или множество траекторий), расположенная в огранич. области фазового пространства и притягивающая к себе все близкие траектории. Поскольку на фазовой плоскости траектории пересекаться не могут, в системах 2-го порядка может существовать лишь простейший нетривиальный аттрактор - замкнутая траектория, к к-рой стремятся все ближайшие траектории. Такая траектория наз. предельным циклом, к-рый служит образом периодич. А. Размеры предельного цикла определяют амплитуду А., время движения изображающей точки по циклу - период А., а форма предельного цикла - форму колебаний. Величина (J, характеризует нелинейность системы: чем больше нелинейность, тем больше форма колебаний отличается от синусоидальной (рис. 3). При малых потери в контуре и вносимая в него энергия очень малы - ур-ние (1) близко к ур-нию гармонич. осциллятора, а А. близки к синусоидальным с частотой .

Рис. 3. Осциллограммы х (t), иллюстрирующие характер установления и форму автоколебаний в системе (1) соответственно: при - квазигармонические колебания (а); при - сильно не-синусоидальные колебания (б); при - релаксационные колебания (в).

В др. предельном случае потери в контуре и вносимая в него энергия очень велики по сравнению с энергией в нём запасённой, поэтому колебания будут сильно отличаться от синусоидальных, превращаясь в релаксационные. Анализ таких А. удобно проводить, разделяя движения на участки быстрых и медленных движений (см. Релаксационные колебания).

При изменении величины параметра не происходит никаких качественных изменений в структуре разбиения фазовой плоскости ур-ния (1) на траектории - при любом в системе имеются единств. состояние равновесия ( х=0,=0), к-рое неустойчиво, и единств. предельный цикл, к-рый устойчив. Качественные перестройки - бифуркации происходят лишь при смене знака . Рассмотренная картина соответствует мягкому режиму возникновения А., к-рому соответствует фазовый портрет, изображённый на рис. 4, а. В системах с жёстким режимом возбуждения колебания самопроизвольно нарастают лишь с нек-рой нач. амплитудой, т. е. когда имеется толчок с амплитудой, большей нек-рого критич. значения; при этом на фазовом, портрете (рис. 5) нач. точка должна лежать вне заштрихованной области, т. е. изображающая точка должна быть выведена за пределы области притяжения устойчивого состояния равновесия, границей к-рого служит неустойчивый предельный цикл.

Рис. 4. Фазовые портреты системы (1): а - при ; б - при ; в - при .

В системах, даже незначительно более сложных, чем генератор на рис. 2, а, напр. в системах с полутора степенями свободы, возможны не только периодич. и квазипериодич. А. (с несколькими несоизмеримыми частотами), но и А., ничем неотличимые от случайных - т. н. стохастические А. Примером такой автоколебат. системы - генератора шума, в к-ром хаотич. колебания (колебания со сплошным спектром) совершаются в диссипативной системе за счёт энергии регулярных источников, может служить генератор на рис. 2, б, если в контур последовательно с индуктивностью добавлен нелинейный элемент с невзаимно однозначной вольт-амперной характеристикой (рис. 6). Таким элементом является, напр., туннельный диод. Матем. модель или соответствующая такому генератору динамическая система может быть представлена в виде системы 3-го порядка:

(2)

Здесь х, у, z - соответственно безразмерные токи в контуре, напряжение на ёмкости и напряжение на туннельном диоде, h - инкремент нарастания колебаний в контуре в отсутствие диода, характеризует степень влияния диода на процессы в контуре, - малый параметр, пропорциональный ёмкости туннельного диода, f(z) - его нормированная характеристика.

Рис. 5. Фазовый портрет, отвечающий жёсткому возбуждению автоколебаний: 1 - устойчивый предельный цикл; 2 - неустойчивый предельный цикл; 3 - устойчивое состояние равновесия.

Фазовое пространство системы (2) трёхмерно. При определ. параметрах в этом фазовом пространстве все траектории будут входить в ограниченную область, внутри к-рой нет ни устойчивых состояний равновесия, ни устойчивых предельных циклов. Внутри этой области содержится притягивающее множество траекторий, каждая из к-рых неустойчива,- это т. н. странный аттрактор. Подобно тому, как предельный цикл является образом периодич. А., образом стохастич. А. служит странный аттрактор. Для автоколебат. систем с неск. степенями свободы характерны такие явления, как синхронизация и конкуренция колебаний. Разделяют внеш. синхронизацию А., или захватывание частоты генератора, и взаимную синхронизацию. При захватывании частоты устанавливаются А. с частотой и фазой, соответствующими частоте и фазе внеш. периодич. воздействия, а при взаимной синхронизации - периодич. сфазированные колебания в ансамбле подсистем, к-рые в независимом режиме работы характеризуются разл. частотами. Захватывание частоты широко используется для управления и стабилизации частоты мощных малостабильных генераторов с помощью высокостабильных маломощных (напр., в лазерах).

Рис. 6. Вольт-амперная характеристика туннельного диода.

Полоса захватывания - область расстроек между частотами собств. колебаний и внеш. сигналом, внутри к-рой устанавливается режим синхронизации,- расширяется при увеличении амплитуды внеш. воздействия. Вне границы захватывания устойчивый режим генерации периодич. колебаний сменяется режимом биений - режимом квазипериодич. колебаний либо стохастич. режимом. Взаимная синхронизация подсистем или различных элементарных колебаний (мод) используется при работе неск. генераторов на общую нагрузку, для получения коротких импульсов в многомодовых генераторах (напр., лазерах) и т. д.

Конкуренция мод - подавление одних мод другими в автоколебат. системах - связана с тем, что конкурирующие моды черпают энергию на покрытие дисси-пативных расходов из общего источника. В результате одни моды создают дополнит. нелинейное затухание для других. Благодаря эффектам конкуренции и взаимной синхронизации колебаний в автоколебат. системах с большим числом степеней свободы (или даже бесконечным числом - в случае распределённых систем) возможно установление из нач. шума (нарастающих в результате развития линейных неустойчивостей флуктуации на разл. частотах) режима регулярных периодич. А. Эффекты конкуренции и синхронизации оказываются принципиальными и для появления высокоорганизованных структур в нелинейных не равновесных средах.

В распределённых системах характер А. существенно зависит, помимо вида нелинейности, ещё и от особенностей дисперсии среды и граничных условий, в частности наличия резонатора. В нек-рых случаях спектр возбуждения мод и особенности их нелинейного взаимодействия таковы, что при анализе А. в распределённой системе с бесконечным числом степеней свободы возможно ограничиться т. н. одно-модовым описанием.

Рис. 7. Кольцевая труба, заполненная жидкостью,- конвективная петля; g- ускорение силы тяжести, Т _Н - темп-pa в точке М, T _В - темп-pa в точке Р.

Для примера рассмотрим А. в кольцевом резонаторе - расположенной в вертик. плоскости замкнутой трубе, заполненной вязкой жидкостью (рис. 7). При подогреве кольца снизу в системе устанавливается режим конвекции: более лёгкая, нагретая в основании кольца часть жидкости всплывает, заставляя охлаждённую жидкость опускаться вниз. Т. о., начиная с нек-рой разности темп-р Т _В - Т _Н= устанавливается режим стационарного вращения жидкости по или против часовой стрелки. При этом вся жидкость вращается как целое - реализуется лишь одно наиб. крупномасштабное движение. Дальнейшее увеличение приводит к возникновению А., проявляющихся в том, что жидкое кольцо внутри трубы время от времени будет менять направление своего движения. Физически это можно пояснить так: пусть в данный момент жидкость движется по часовой стрелке, при достаточно большом архимедова сила велика и водяное кольцо ускоряется настолько, что остывший вверху жидкий объём, пройдя горячее основание и не успев нагреться, уже не достигает верх. части кольца и приостанавливается (архимедова сила недостаточна, чтобы преодолеть силу вязкости и гравитации). При этом опускающаяся (правая) часть жидкости теплее и, следовательно, легче поднимающейся.

В результате торможения жидкого кольца жидкость в его основании нагревается и всплывает, но уже в противоположном направлении - давление справа меньше, чем слева. Т. о., жидкое кольцо меняет направление своего вращения и начинает закручиваться против часовой стрелки. Затем всё повторяется в обратном порядке. Такие вызываемые тепловой конвекцией А. могут быть как периодическими, так и стохастическими. Поскольку никакие другие масштабы движения, кроме основного, в А. рассматриваемого вида не участвуют, матем. модель для описания этих А. может быть получена из исходных ур-ний гидродинамики в предположении, что зависимость полей скорости и темп-ры от пространственных координат не меняется во времени и пропорциональна , где - угл. координата элементарного объёма жидкости. В результате для безразмерных скорости x(t )движения жидкого кольца, темп-ры y(t )жидкости в точке N и темп-ры z(t )в точке М можно получить систему ур-ний в обыкновенных производных:

(3),

где , . Это - известная система Лоренца (см. Лоренца система), к-рая является одной из осн. моделей теории стохастич. А. В зависимости от параметров и в фазовом пространстве системы (3) могут существовать как устойчивый предельный цикл, так и странный аттрактор.

В общем случае А. в резонаторах, к-рые описываются ур-ниями в частных производных с соответствующими граничными условиями, невозможно представить с помощью конечномерной динамич. системы. Однако, как правило, благодаря разного рода физ. обстоятельствам, напр. наличию диссипации, прогрессирующей с ростом частоты или уменьшением пространственного масштаба пульсаций, такое конечномерное описание оказывается справедливым.

В неравновесных диссипативных средах, помимо А., о к-рых речь шла выше, возможны ещё т. н. авто-волны и автоструктуры - не связанные с граничными условиями пространственно-временные образования, параметры к-рых определяются лишь свойствами нелинейной неравновесной среды, напр. уединённые фронты горения и волны популяций, импульсы в нервных волокнах, цилиндрические и спиральные волны в сердечной ткани и др. Стохастич. А. в нелинейных неравновесных средах - это турбулентность.

Лит.: Андронов А. А., Витт А. А., Xайкин С. Э., Теория колебаний, 3 изд., М., 1981; Горелик Г. С., Колебания и волны, 2 изд., М., 1959; Xаркевич А. А., Автоколебания, М., 1953; Ланда П. С., Автоколебания в системах с конечным числом степеней свободы, М., 1980; Рабинович М. И.,Трубецков Д. И., Введение в теорию колебаний и волн, М., 1984. М. И. Рабинович.

Физическая энциклопедия. В 5-ти томах. — М.: Советская энциклопедия. Главный редактор А. М. Прохоров. 1988.