ТИПОВ ТЕОРИЯ

ТИПОВ ТЕО́РИЯ

система расширенного предикатов исчисления или аксиоматич. теории множеств, включающая переменные различных типов (сортов, ступеней, порядков). Различные системы Т. т. были предложены (впервые – Б. Расселом в 1908) в качестве одной из альтернативных формализации классич. (теоретико-множественной) математики и логики, в к-рой известные парадоксы (в частности, парадокс Рассела) "наивной" теории множеств преодолеваются посредством ограничений на выразительные (а не дедуктивные, как, напр., в др. аксиоматич. системах) средства теории, т.е. пересматривается характерная для "наивного" подхода уверенность в том, что любая "грамматически правильная" фраза выражает нек-рое осмысл. условие (или – что равносильно – предъявляются более жесткие: критерии "грамматич. правильности"). Осуществлению такого, рода ограничений и служит упомянутое выше в дефиниции Т. т. расслоение алфавита переменных на "типы", в результате к-рого множества (классы) и их элементы (вообще – термины) следует рассматривать только в рамках определ. иерархии с условием, что тип элемента множества должен быть (на единицу) меньше типа самого множества, причем вместо переменной любого типа разрешается подставлять термы лишь т о г о же типа. В такой системе известные парадоксы не возникают, хотя ею и не исключается возможность непредикативных определений со всеми вытекающими отсюда последствиями. [Парадокс Рассела в Т. т. не может быть сформулирован из-за ограничения на правило подстановки терминов и требования, согласно к-рому в любой (правильно построенной) (под) формуле Т. т. вида xi∈yj было бы i

Известны и др. формулировки Т. т. (напр., "кумулятивные" и "расслаивающиеся" системы), но эти различия формулировок носят не принципиальный, а скорее технич. характер. Более существ. различия связаны со структурой и мощностью самой иерархии типов: наряду с системами, типы переменных к-рых пробегают лишь натуральный ряд чисел, рассматриваются и более сильные системы с трансфинитными иерархиями типов (о трансфинитных числах см. Теория множеств). Представляют значит. интерес и частичные (под)системы Т. т. с конечными иерархиями типов; так, для формализации существ. фрагментов матем. анализа оказывается достаточной Т. т. второй ступени (исчисление предикатов второго порядка); правда, если требовать, чтобы содержательные теоремы анализа формулировались непременно на предметном языке теории (а не только на ее метаязыке), то может понадобиться повышение типа системы на 1–2 порядка.

Наряду с описанными выше системами т.н. п p о с т о й Т. т. Рассел и Уайтхед в "Principia mathematica" (v. 1–3, Camb.–L.–Edin., 1910–13) ввели также р а з в е т в л е н н у ю Т. т., в к-рой объекты внутри каждого типа делятся еще на у р о в н и (слои): нек-рая исходная область индивидов составляет нулевой уровень, а объекты, определяемые в терминах объектов не выше (i–1)-го уровня, составляют i-й уровень. Разветвленная Т. т. позволяет рассматривать объекты со сколь угодно сложной схемой (предикативного) определения, но исключает непредикативные определения (и тем самым возможность парадоксов семантических). Однако она не дает возможности рассматривать все объекты любого данного типа (напр., действительные числа) в качестве единого множества, так что многие из важнейших теорем матем. анализа либо не доказуемы (а иногда даже не формулируемы) в рамках такой теории, либо чрезмерно усложняются. С целью преодоления этого недостатка разветвленной Т. т. Рассел и Уайтхед постулировали в ней т.н. а к с и о м ы с в о д и м о с т и, согласно к-рым для каждой совокупности объектов произвольного уровня имеется равнообъемная ей совокупность наинизшего (из совместимых с уровнем исходных объектов) уровня. Введение аксиом сводимости, при всей привлекательности и простоте получающихся вариантов теории, вызвало критику концепции Рассела и Уайтхеда; большая часть оппонентов усматривала в них онтологические – и притом очень мало правдоподобные и трудно обосновываемые – допущения, противоречащие логицистич. тезису о сводимости математики к логике (см. Логицизм); но даже те, кто согласен был считать аксиомы сводимости аналитическими утверждениями, как правило, оспаривали законность их введения ввиду крайней их неконструктивности (неэффективности нахождения постулируемых в них совокупностей). Правда, независимо от критики, идеи, заложенные в разветвленной Т. т., оказались весьма плодотворными в применении к др. проблемам математики и логики; в частности, они оказали определ. влияние на работы А. Тарского, посвященные понятию и с т и н н о с т и в формализованных языках, на теорию семантических категорий С. Лесьневского и др.

Существ. вкладом в развитие теоретико-типовой концепции явились системы логики и теории множеств, разработанные Куайном (1937, 1940, 1951), представляющие собой, в известном смысле, "гибрид" Т. т. с аксиоматич. теорией множеств Э. Цермело. В их основе лежит понятие стратификаци и логич. (теоретико-множественных) формул: формула наз. стратифицированной, если входящим в нее термам можно присвоить индексы, удовлетворяющие обычным теоретико-типовым ограничениям (такова, напр., формула х∈у&y∈z, допускающая расстановку индексов x1, y2, z3; формула же х∈у & y∈x к-рую нельзя таким путем преобразовать в формулу Т. т., не стратифицирована). В аксиомах свертывания в системах Куайна и им подобных допускаются лишь стратифицированные формулы; это позволяет, не связываясь с громоздкой индексной техникой Т. т., добиться (в основном) тех же целей, к-рые преследовались введением индексов (типов).

Дальнейшим воплощением идей и методов, использованных создателями Т. т., явились (трансфинитные) иерархии систем, предложенные П. Лоренценом, Хао Ваном, К. Шютте, а также системы Т. т. с трансфинитными типами (и трансфинитными типовыми переменными) М. Лаббе, П. Андруса и др. Внимание к такого рода системам не ослабевает и в настоящее время, причем исходным пунктом всех этих рассмотрений, в т.ч. и посвященным др. формам логистич. систем (напр., исчислениям многозначной логики, секвенций исчислению и др.), все время остается классическая Т. т. Рассела.

Лит.: Гильберт Д., Аккерман В., Основы теоретической логики, пер. с нем., М., 1947, гл. 4 и прилож. 1; Ван Хао и Мак-Нотон Р., Аксиоматические системы теории множеств, пер. с франц., М., 1963, гл. 1–2, 5–6; Френкель Α., Бар-Хиллел И., Основания теории множеств, пер. с англ., М., 1966, гл. 1, 3 (имеется обширная библ.); Whitehead A. N., Russell В., Principia Mathematica, 2 ed., v. 1–3, Camb., 1925–27; Quine W. V. О., New foundations for mathematical logic, "Amer. Math. Monthly", 1937, v. 44, p. 70–80; его же, Mathematical logis, Ν. Υ., 1962; Ramsey F. P., The foundations of mathematics and other logical essays, Paterson (Ν. Υ.), 1960; Andrews P., A transfinite type theory with type variables, Amst., 1965.

Ю. Гастев. Москва.

Философская Энциклопедия. В 5-х т. — М.: Советская энциклопедия. Под редакцией Ф. В. Константинова. 1960—1970.