КВАНТОР


КВАНТОР
КВАНТОР
логический оператор, с помощью которого высказывание о к.-л. отдельном объекте преобразуется в высказывание о совокупности (множестве) таких объектов.
В логике используется два основных К.: К. общности, «V», и К. существования, «Э». В естественном языке отдаленными смысловыми аналогами К. общности являются слова «все», «любой», «каждый»; смысловыми аналогами К. существования — слова «некоторые», «существует». С помощью данных К. любое атрибутивное высказывание вида Р(х) о том, что объекту х присуще свойство Р, может быть преобразовано в соответствующее кванторное высказывание вида VхР(х) и вида ЗхР(х). Содержательно сама кванторная формула «VxP(x)» читается как «для всех х имеет место Р(х)», а формула «ЭхР(х)» — как «для некоторых х имеет место Р(х)». Высказывание вида VxP(x) истинно, если любой х обладает свойством Р; и ложно, если хотя бы один х не обладает свойством Р. Аналогичным образом, высказывание вида ЗхР(х) истинно, если хотя бы один х обладает свойством Р; и ложно, если ни один х не обладает свойством Р.
На основе элементарных кванторных формул «VxP(x)», «ЭхР(х)» могут быть построены др., более сложные кванторные формулы. Логические взаимосвязи между такими формулами изучаются в логике предикатов. В частности, формула «ЗхР(х)» логически эквивалентна формуле «) VxКВАНТОР| P(x)», а формула «VхР(х)» эквивалентна формуле «) Эх) Р(х)», где «)» — знак отрицания.
В неявной форме К. использовались уже Аристотелем, однако в строгом содержательном и формальном смысле они впервые были введены в логику Г. Фреге.

Философия: Энциклопедический словарь. — М.: Гардарики. . 2004.

КВАНТОР
        (от лат. quantum — сколько), оператор логики предикатов, применение крого к формулам, содержащим лишь одну свободную переменную, даёт предложение (высказывание). Различают К. общности, обозначаемый символом (от англ. all — все), и К. существования (от exist — существовать): хР(х) интерпретируется (см. Интерпретация) как «для всех х имеет место свойство Р», а хР(х) — как «существует х такой, что имеет место свойство ?(х)». Если предметная область (универсум) конечна, то хР(х) равносильно конъюнкции всех формул Р(а), где а — элемент предметной области. Аналогично, хР(х) равносильно дизъюнкции всех формул вида ? (а). Если же предметная область бесконечна, то xP(x) и хР(х) могут быть истолкованы соответственно как бесконечные конъюнкция и дизъюнкция. Введение К. в логике многоместных предикатов (т. е. неодноместных) обусловливает неразрешимость исчисления предикатов. Различные соотношения между К. общности и существования и логическими связками логики высказываний формализуются в исчислении предикатов.
        см. к ст. Логика предикатов.

Философский энциклопедический словарь. — М.: Советская энциклопедия. . 1983.

КВАНТОР
(от лат. quantum - сколько) - логич. оператор, применяемый к логич. выражениям и дающий количеств. характеристику области предметов (а иногда и области предикатов), к к-рой относится получаемое в результате применения К. выражение. В то время как логич. средств логики высказываний недостаточно для выражения форм всеобщих, частных и единичных суждений, в логике предикатов, получаемой посредством расширения логики высказываний за счет введения К., такие суждения выразимы. Так, напр., четыре осн. формы суждений традиц. логики "Все А суть В", "Ни одно А не есть В", "Нек-рые А суть В" и "Нек-рые А не суть В" могут быть записаны (если отвлечься от предполагаемого аристотелевой логикой требования непустоты А в общих суждениях) при помощи поясняемой ниже символики следующим образом: ∀(х) (А (х) ⊃ В (х)), ∀(х) (А (х) ⊃ В(x)), ∃(х) (А (х) & В (х)) и ∃ (х) (А (х) & B (x)). Введение К. дает возможность записывать на формализованном логич. языке выражения естеств. языка, содержащие количест. характеристики к.-л. предметных или предикатных областей. В естеств. языках носителями таких характеристик являются т. н. кванторные слова, к числу к-рых относятся, в частности, количеств. числительные, местоимения "все", "каждый", "нек-рый", глагол "существует", прилагательные "любой", "всякий", "единственный", наречия "бесконечно много" и т.п. Оказывается, что для выражения всех упомянутых кванторных слов в формализ. языках и логич. исчислениях достаточно двух наиболее употребит. К.: К. общности (или в с е о б щ н о с т и), обозначаемого обычно символом ∀(перевернутая буква А – начальная буква англ. слова "all", нем. "alle" и др.), и К. с у щ е с т в о в а н и я, обозначаемого обычно символом ∃ (перевернутая буква E – начальная буква англ. слова "exist", нем. "existieren" и др.); за знаками ∀ и ∃ в обозначении К. следует буква нек-рого алфавита, называемая кванторной переменной, к-рую рассматривают обычно как часть обозначения К.: ∀х, ∀у, ∀F, ∃х, ∃α и т.п. Для К. общности употребляют также обозначения:
КВАНТОР
для К. существования:
КВАНТОР
Знак К. ставится перед выражением, к к-рому применяется К. (операцию применения К. часто называют квантификацией); это выражение заключается в скобки (к-рые часто опускают, если это не приводит к двусмысленности). Содержащее К. общности выражение ∀x (А (х)) читается как "Для всех x верно, что А (х)", или "Для каждого x верно А (х)"; содержащее К. существования выражение ∃х (А(х)) читается как "Существует x такой, что А (х)", или "Для нек-рого x верно А(х)". В обоих этих случаях не предполагается, вообще говоря, что выражение A (х) в действительности зависит от переменной x (оно может и вообще не содержать никаких переменных, т.е. может обозначать нек-рое высказывание; в этом случае квантификация не меняет смысла этого высказывания). Однако осн. назначение К. - образование высказываний из выражения, зависящего от кванторной переменной, или хотя бы уменьшение числа переменных, от к-рых это выражение, будучи незамкнутой (открытой) формулой (см. Замкнутая формула), зависит. Напр., выражение (y>0&z>0&x=у-z) содержит три переменные (х, y и z) и становится высказыванием (истинным или ложным) при к.-л. опред. замещении этих переменных именами нек-рых предметов из области их значений. Выражение ∃ z(y>0&z>0&x = y-z) зависит уже лишь от двух переменных (х и у), a ∃y∃z (y>0&z>0& &х = у –z) - от одной х. Последняя формула выражает, т.о., нек-рое свойство (одноместный предикат). Наконец, формула ∃х∃у∃z (y>0&z>0&x=y–z) выражает вполне опред. высказывание.
Др. примеры формул, содержащих К.: 1) ∀х(х>0); 2) ∃х(х>0); 3) ∀х (2+2=5); 4) ∃x (2+2=4); 5) ∀х (х = х)& (х+2=у); 6) ∀х∃у (∀z (x = z⊃x ≠ 0) & (x<5⊃x<6)). Формула 6) не содержит переменной у, формулы 3) и 4) вообще не содержат переменных. Часть формулы, на к-рую распространяется действие к.-л. К., наз. областью действия этого К. Так, в формуле 6) областями действия К. ∀х и ∃y являются стоящие справа от них части формулы, а область действия К. ∀z - формула (x = z⊃x ≠ 0). Вхождение к.-л. переменной в знак К. или в область действия К., содержащего эту переменную, наз. связанным вхождением переменной в формулу. В остальных случаях вхождение переменной наз. с в о б о д н ы м. Одна и та же переменная может входить в к.-л. формулу в одном месте в связанном виде, а в др. месте – в свободном. Такова, напр., формула 5): первые три (считая слева) вхождения в нее переменной x – связанные, последнее же – свободное. Иногда говорят, что переменная связана в данной формуле, если все ее вхождения в эту формулу – связанные. В математике и логике всякое выражение, содержащее свободную переменную, может рассматриваться (при неформальном подходе) как ее функция в том обычном смысле этого слова, что оно (выражение) зависит от различных значений этой переменной; придавая этой переменной различные значения (т. е. замещая все ее свободные вхождения именем к.-л. предмета, принадлежащего к области значений этой переменной), мы получаем различные (вообще говоря) значения данного выражения, зависящие от значения переменной, т.е. от подставленной вместо нее константы. Что же касается связанных переменных, то заключающие их выражения в действительности от них не зависят. Напр., выражение ∃х(х = 2у), зависящее от у (входящего в него свободно), эквивалентно выражениям ∃z(z = 2y), ∃u(u = 2у) и т.п. Эта независимость логич. выражений от входящих в них связанных переменных находит отражение в т. н. правиле переименования с в я з а н н ы х п е р е м е н н ы х, постулируемом или выводимом в разл. логич. исчислениях (см. Переменная, Предикатов исчисление).
Изложенное выше истолкование смысла К. относилось к с о д е р ж а т е л ь н ы м логич. теориям. Что же касается исчислений в собств. смысле (т.н. формальных систем), то в них вообще не имеет смысла говорить о "значении" того или иного К., являющегося здесь просто нек-рым символом исчисления. Вопрос о значении (смысле) К. относится целиком к области интерпретации исчисления. В применении к К. можно говорить по крайней мере о трех интерпретациях: классической, интуиционистской и конструктивной, соответствующих различным концепциям существования и всеобщности в логике и математике (см. Интуиционизм, Конструктивная логика). Как в классич., так и в интуиционистском (конструктивном) исчислении предикатов способы вывода в случаях, когда исходные или доказываемые формулы содержат К., описываются одними и теми же т. н. постулатами квантификации, напр. постулатами Бернайса.
К. общности и существования не исчерпываются употребительные в логике виды К. Обширный класс К. представляют собой т. н. ограниченные К. вида ∀хP(x)А(х) или ∃xQ(x)A(x), в к-рых область изменения кванторной переменной x "ограничена" нек-рым спец. предикатом Р(х) (или Q(x)). Ограниченные К. сводятся к К. общности и существования при помощи след. эквивалентностей: ∀xP(x)A(x) КВАНТОР∀x(P(x) ⊃A(x)) и ∃xQ(x)A(x) КВАНТОР ∃x(Q(x)&A(x)). Часто употребляемый К. единственности ∃!хА(х) ("существует единственное x такое, что А(х)") также выражается через К. общности и существования, напр. так: xA(x) КВАНТОР ∃xA(x)& ∀y∀z(A(y)&A(z)⊃y=z).
Употребительны и др. виды К., не покрываемые понятием ограниченного К. Таковы "числовые" К. вида ∃хnА(х) ("существует в точности n различных x таких, что А(х)"), употребляемый в интуиционистской логике К. "квазисуществования" ∃ хА(х), или ("неверно, что не существует такого х, что А(х)"); с т. зр. классич. логики К. "квазисуществования" ничем не отличается от К. существования, в интуиционистской же логике предложение ∃xA(x), ничего не говорящее о существовании алгоритма для нахождения такого х, что А(х), действительно утверждает лишь "квази"существование такого x и К. бесконечности ∃x∞A(x) ("существует бесконечно много таких х, что А(х)"). Выражения, содержащие К. бесконечности и числовые К., также могут быть записаны при помощи К. общности и существования. В расширенном исчислении предикатов К. берутся не только по предметным, но и по предикатным переменным, т.е. рассматриваются формулы вида ∃F∀xF(x), ∀Ф∃у(Ф(y)) и т.п.
Лит.: Гильберт Д. и Аккерман В., Основы теоретической логики, пер. с англ., М., 1947, с. 81-108; Тарский А., Введение в логику и методологию дедуктивных наук, пер. с англ., М., 1948, о. 36-42, 100-102, 120-23; Клини С. К., Введение в метаматематику, пер. с англ., М., 1957, с. 72-80, 130-38; Чёрч Α., Введение в математическую логику, пер. с англ., т. 1, с. 42–48; Кузнецов А. В., Логические контуры алгоритма, перевода со стандартизованного русского языка на информационно-логический, в сб.: Тезисы докладов на конференции по обработке информации, машинному переводу и автоматическому чтению текста, М., 1961; Mostowski A., On a generalization of quantifiers, "Fundam. math.", 1957, t. 44, No 1, p. 12–36; Hailperin T., A theory of restricted quantification, I–II, "J. Symb. Logic", 1957, v. 22, No 1, p. 19–35, No 2, p. 113–29.
Ю. Гастев. Москва.

Философская Энциклопедия. В 5-х т. — М.: Советская энциклопедия. . 1960—1970.


.

Синонимы:

Смотреть что такое "КВАНТОР" в других словарях:

  • квантор — сущ., кол во синонимов: 1 • оператор (24) Словарь синонимов ASIS. В.Н. Тришин. 2013 …   Словарь синонимов

  • квантор — — [http://www.iks media.ru/glossary/index.html?glossid=2400324] Тематики электросвязь, основные понятия EN quantifier …   Справочник технического переводчика

  • Квантор — Квантор  общее название для логических операций, ограничивающих область истинности какого либо предиката и создающих выcказывание. Чаще всего упоминают: Квантор всеобщности (обозначение: , читается: «для всех…», «для каждого…» или «каждый…» …   Википедия

  • КВАНТОР — общее название для логических операций, к рые по предикату Р(х)строят высказывание, характеризующее область истинности предиката Р(х). В математич. логике наиболее употребительны квантор всеобщности и квантор существования Высказывание означает,… …   Математическая энциклопедия

  • Квантор — (от лат. quantum сколько) символ, используемый для обозначения некоторых операций математической логики, одновременно логическая операция, дающая количественную характеристику области предметов, к которым относится выражение, получаемое в… …   Начала современного естествознания

  • квантор — (лат. quantum сколько) символ математической логики; логическая операция, дающая количественную характеристику области предметов, к которым относится выражение, получаемое в результате её применения. Новый словарь иностранных слов. by EdwART, ,… …   Словарь иностранных слов русского языка

  • квантор — а, ч., лог. Логічний оператор, який переводить одну висловлювальну форму в іншу. Квантор існування …   Український тлумачний словник

  • квантор — kvantorius statusas T sritis automatika atitikmenys: angl. quantifier vok. Quantor, m rus. квантор, m pranc. quantifier, m …   Automatikos terminų žodynas

  • Квантор — (от лат. quantum сколько)         логическая операция, дающая количественную характеристику области предметов, к которой относится выражение, получаемое в результате её применения. В обычном языке носителями таких характеристик служат слова типа… …   Большая советская энциклопедия

  • квантор — кв антор, а …   Русский орфографический словарь

Книги

Другие книги по запросу «КВАНТОР» >>


Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»

We are using cookies for the best presentation of our site. Continuing to use this site, you agree with this.