ГЁДЕЛЬ

ГЁДЕЛЬ

(Godel) Курт (1906-1978) — австр. логик и математик. Участвовал в работе Венского кружка. В 1933— 1939 — приват-доцент Венского ун-та, в 1940 эмигрировал в США, с 1953 — проф. Ин-та высших исследований в Принстоне. Г. принадлежат ряд важнейших результатов в области математической логики, теории множеств, теории моделей: теорема о полноте узкого исчисления предикатов, метод арифметизации метаматематики, доказательство непротиворечивости ряда важных гипотез теории множеств и др. Наиболее известны теоремы Г. о неполноте и непротиворечивости формальных систем. Согласно первой из них, если арифметическая формальная система непротиворечива, то она неполна. Вторая теорема гласит, что если формальная система непротиворечива, то невозможно доказать ее непротиворечивость средствами, формализуемыми в этой системе. На этих теоремах базируются многие важные результаты в рамках математической логики, теории доказательств, а также выводы методологического и гносеологического характера. По выражению С.К. Клини, они несут в себе целую программу и философию математики. Теоремы зачастую рассматриваются как достаточно строгое обоснование принципиальной невозможности полной формализации научных рассуждений и научного знания в целом.

Философия: Энциклопедический словарь. — М.: Гардарики. Под редакцией А.А. Ивина. 2004.

ГЁДЕЛЬ

        (Godel) Курт [28. 4. 1906, Брюнн (Брно),— 14.1.1978, Принстон], австр. логик и математик. С 1940 в США. Осн. труды в области матем-атич. логики а теории множеств. Важнейший результат, полученный Г.,— доказательство неполноты достаточно богатых формальных систем (в том числе арифметики натуральных чисел и аксиоматич. теории множеств). Г. показал, что в таких системах имеются истинные предложения, которые в их рамках недоказуемы и неопровержимы. В филос.-методологич. плане теорема Г. о неполноте означала утверждение принципиальной невозможности полной формализации науч. знания. Г. принадлежит ряд результатов в теории моделей, в области конструктивной логики и др. разделах математич. логики. В 30-х гг. филос. взгляды Г. были близки к неопозитивизму, впоследствии выступал с критикой субъективизма в филос. истолковании логики.

        в рус. пер.: Совместимость аксиомы выбора и обобщенной континуум-гипотезы с аксиомами теории множеств, «Успехи математич. наук», 1948, т. 3, в. 1; Об одном ещё не использованном расширении финитной т. зр., в сб.: Математич. теория логич. вывода, М., 1967.

        Клини С. К., Введение в метаматематику, пер. с англ., М., 1957 (библ.); Нагель Э., Ньюмен Д. Р., Теорема Г., пер. с англ., М., 1970.

Философский энциклопедический словарь. — М.: Советская энциклопедия. Гл. редакция: Л. Ф. Ильичёв, П. Н. Федосеев, С. М. Ковалёв, В. Г. Панов. 1983.

ГЁДЕЛЬ

(Gödel), Курт (р. 28 апр. 1906) – австр. логик и математик. Родился в г. Брно, в Австро-Венгрии (ныне Чехословакия). В 1933–38 – приват-доцент Венского ун-та. В 1940 эмигрировал в США (с 1953 – проф. Ин-та высших исследований в Принстоне). Известен своими трудами в области математич. логики, в к-рую внес существ. вклад. Ему принадлежат: теорема о полноте узкого исчисления предикатов (1930); метод арифметизации метаматематики (1931); теорема о неполноте формальных систем (т.н. первая теорема Г., или теорема о неполноте, 1931); теорема о невозможности доказать непротиворечивость формальной системы средствами самой системы (т.н. вторая теорема Г., 1931); важные результаты об интерпретации конструктивной логики (1931–33); первое определение общей рекурсивной функции (1934); установление непротиворечивости ряда важнейших гипотез теории множеств (1938).

Среди результатов Г. особое значение имеет теорема о неполноте, опубликованная в 1931 в его статье "О формально неразрешимых предложениях Principia Mathematica и родственных систем". В этой статье Г. показал, что в формальной системе, изложенной в соч. Уайтхэда и Рассела "Principia Mathematica", и в других достаточно содержательных формальных системах (критерием содержательности является способность выразить арифметику натуральных чисел) имеются неразрешимые (т.е. недоказуемые и одновременно неопровержимые в данной системе) предложения. Теорема Г. о неполноте имеет важное логич. и гносеологич. значение, поскольку показывает невозможность полной формализации человеческого мышления.

Из теоремы о неполноте по существу вытекает и существование неразрешимых массовых проблем, а именно: неразрешимой является семантич. проблема разрешения любой достаточно содержательной формальной системы (однако это обстоятельство не могло быть обнаружено своевременно ввиду отсутствия четкого понятия алгоритма, и первый пример неразрешимой массовой проблемы был опубликован лишь в 1936 независимо от результатов Г.; то, что существование неразрешимых массовых проблем вытекает из теоремы о неполноте, было осознано еще позднее).

В начальный период своей деятельности Г. был членом Венского кружка неопозитивистов. Впоследствии выступил с критикой субъективизма Рассела и др. в философских вопросах логики с позиций "реализма" и признания объективного характера логико-математических абстракций. В "реализме" Г. встречаются черты объективного идеализма в духе Платона.

Лит.: Nagel E., Newman J., Gödel's proof, "Scient. Amer.", 1956, t. 194, No 6, p. 71–84, 86; Клини С. К., Введение в метаматематику, пер. с англ., М., 1957 (имеется библиогр.).

Философская Энциклопедия. В 5-х т. — М.: Советская энциклопедия. Под редакцией Ф. В. Константинова. 1960—1970.

ГЕДЕЛЬ

    ГЕДЕЛЬ (Gцdel) Курт (27 апреля 1906, Брно, АвстроВенгрия —14 января 1978, Принстон, США) — австрийский и американский логик и математик; окончил Венский университет; участвовал в работе Венского кружка, но довольно быстро отошел от него, не удовлетворенный уровнем обсуждений. Обращает на себя внимание относительно малое число опубликованных Гёделем работ и принципиальный характер задач, решаемых практически в каждой из них. Его диссертация (1930) была посвящена фундаментальному результату—доказательству теоремы полноты: “Формула истинна во всех моделях теории Th тогда и только тогда, когда она является теоремой Th”, утвердившему формализованную классическую логику в качестве прочной основы для математики. Теореме полноты эквивалентна теорема существования модели: “Теория Th имеет модель тогда и только тогда, когда она непротиворечива”.

    За этими “оптимистичными” теоремами последовала та, которая при поверхностном понимании кажется весьма разочаровывающей. Это теорема Гёделя о неполноте: “Если непротиворечивая теория содержит арифметику, то в ней имеется формула, которую нельзя ни доказать, ни опровергнуть”. Такая формула называется неразрешимой в данной теории. Доказательство теоремы о неполноте весьма устойчиво к смене формализмов и логических систем. В дальнейшем Россер и Подниекс ослабили условия данной теоремы и усилили ее следствия. (Обзор общематематически и философски важных вариаций теоремы неполноты дан в кн.: Гончаров С. С; Ершов Ю. Л., Самохвалов К. Ф. Введение в логику и методологию науки. М., 1994.)

    Как заметил Гёдель, доказательство теоремы неполноты не формализуется внутри самой арифметики, а это означает, что мы не можем доказать непротиворечивость теории Th внутри самой Th, поскольку тогда мы доказали бы неразрешимую формулу (3-я теорема Гёделя). Доказательство 3-й теоремы не столь устойчиво, оно зависит от свойств кодирования формул числами, и был построен ряд кодирований, при которых можно внутри самой теории доказать формулу, содержательно означающую ее непротиворечивость. (Подробный анализ данных вопросов и связи их с программой Гильберта см. ст. Формализм.)

    Гёдель построил вложение классической логики в интуиционистскую (независимо от Гливенко), а интуиционистской — в модальную систему S4. Он доказал совместимость аксиомы выбора с множеств теорией и дал конструкцию, обобщающую разветвленную иерархию Рассела. В модели Гёделя оказалась верна и континуум-гипотеза Кантора, так что он попутно доказал и ее совместимость. Эта модель была использована Коэном при доказательстве независимости аксиомы выбора.

    В 1940, после аншлюса, ученый переехал в США, в Принстонский Институт высших исследований, и в 1948 принял гражданство США, В результате научных контактов с А.Эйнштейном, который придерживался мнения, что из общей теории относительности должна следовать направленность времени, Гёдель построил контрпример: модель Вселенной, в которой есть замкнутые мировые линии (т.е. в некоторых ее областях время ходит по кругу). За эту работу, которая в современной космологии положила начало целому направлению, он получил (по рекомендации самого Эйнштейна) Эйнштейновскую премию (1954).

    В 1958 Гёдель построил принципиально новую интерпретацию типа реализуемости для интуиционистской арифметики, основанную на нахождении контрпримера и сохраняющую классическую истинность для всех отрицательных формул. В бумагах Гёделя после его смерти было найдено логическое доказательство существования Бога, но показательно, что сам Гёдель не публиковал его и старался о нем не говорить.

    Соч.: Collected works, ed. S. Feferman et al., v. I-III. N. Y., 19861995; Совместимость аксиомы выбора и обобщенной континуумгипотезы с аксиомами теории множеств.— “Успехи математических, наук”, 1948, т. 3, вып. 1; Об одном еще не использованном расширении финитной точки зрения.— В кн.: Математическая теория логического вывода. М., 1967.

    Лит.: Нагель Э., Ньюмен Д. Теорема Гёделя. М., 1970; Подкиекс К. М. Вокруг теоремы Гёделя. Рига, 1981; Брутян Г. А. Письмо К. Гёделя. - “ВФ”, 1984, № 12.

    H. H. Непейвода

Новая философская энциклопедия: В 4 тт. М.: Мысль. Под редакцией В. С. Стёпина. 2001.