- ВРАЩЕНИЕ
- частный случай движения, при к-ром по крайней мере одна точка пространства остается неподвижной. При В. плоскости неподвижная точка наз. центром вращения, при В. пространства неподвижная прямая - осью вращения. В. евклидова пространства наз. собственным (В. 1-го рода), или несобственным (В. 2-го рода) в зависимости от того, сохраняет оно или не сохраняет ориентацию пространства.
На плоскости собственное В. выражается аналитически в декартовых прямоугольных координатах ( х, у).при помощи формул (начало координат в центре В.)
где
- угол поворота. Собственное В. на угол 
может быть представлено как произведение двух осевых симметрии с осями, пересекающимися под углом 
.
Несобственное В. на плоскости выражается аналитически в декартовых прямоугольных координатах ( х, у).при помощи формул (начало координат в центре В.):
где
,- угол поворота. Несобственное В. на плоскости может быть представлено как произведение собственного В. на осевую симметрию.
В случае n-мерного евклидова пространства В. аналитически выражается с помощью ортогональной матрицы, к-рая приводится к канонич. виду:
где
- единичная матрица порядка 
. Возможны следующие случаи:
1) р=n - тождественное преобразование;
2) q=n - В. является центральной симметрией;
3) p+q=п- В. является симметрией относительно р-плоскости (отражением от р-плоскости);
4) Мне содержит подматриц
и -
- В. наз. поворотом вокруг единственной неподвижной точки;
5) Мсодержит подматрицы
и 
, но не содержит подматрицу -
- В. наз. поворотом вокруг р-плоскости;
6) Мсодержит подматрицы
и -
, но не содержит подматрицы 
- В. наз. поворотным отражением от ( п- q )-п лоскости.
В. евклидова пространства
вокруг данной точки образует группу относительно операции умножения В., изоморфную группе ортогональных преобразований Векторного пространства 
или группе ортогональных матриц порядка пнад полем R. Группа В. пространства 
является 
-мерной группой Ли и действует в ЕД интранзитивно.
Лит.:[1] Роаенфельд Б. А., Многомерные пространства, М., 1966; [2] его же, Неевклидовы пространства М., 1969; [3] Широков П. А., Тензорное исчисление. Алгебра тензоров, 2 изд., Казань, 1961. В. Т. Базылев
Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия. И. М. Виноградов. 1977—1985.
