- ЭНТРОПИЯ
метрическая динамической системы - один из важнейших инвариантов в эргодической теории. Основным является понятие Э. h(S)эндоморфизма S (см. Метрический изоморфизм) Лебега пространства
Для любого конечного измеримого разбиения
существует предел (энтропия
на единицу времени относительно S)
где
-энтропия измеримого разбиения
а
- разбиение, элементы к-рого суть пересечения элементов разбиений
и
(это определение дословно переносится на
с
другим способом
определяется для любых измеримых
Э. h(S)определяют как верхнюю грань
по всевозможным конечным измеримым
(они может равняться
использование всех
с
или всех измеримых
дает ту же Э.).
Первоначально Э. была определена А. Н. Колмогоровым несколько иначе (см. [1]); приведенный выше вариант был дан позже (см. [2]). В основном случае апериодического автоморфизма пространства Лебега определения в конечном счете - эквивалентны [3].
Оказывается, что h(Sn)=nh(S). аесли S - автоморфизм, то h(S-1)=h(S). Поэтому Э. каскада{Sn}естественно считать h(S). Для измеримого потока{St} оказывается, что h(St)=|t|h(S1). Поэтому Э. потока естественно считать h(S1). Несколько иначе определяется Э. для других групп преобразований с инвариантной мерой (она уже не сводится к Э. одного из преобразований, входящих в эту группу; см. [5], [6]). Имеется модификация Э. для случая бесконечной инвариантной меры [7]; еще одна модификация - А - энтропия (где А = {k,,} - возрастающая последовательность натуральных чисел) - получается при заменена
и lim на
(см. [8]).
Э. является инвариантом метрического изоморфизма динамич. систем, принципиально отличным от известных ранее инвариантов, в основном связанных со спектром динамической системы. В частности, с помощью энтропии Бернулли автоморфизмов (см. [1]) впервые установлено существование неизоморфных яргодич. систем с одинаковым непрерывным спектром (что контрастирует с ситуацией для дискретного спектра). В более широком плане роль Э. связана с тем, что вместе с ней п эргодич. теории возникло новое направление - энтропийная теория динамич, систем (см. [3], [4] и эргодическая теория).
Э. дает нек-рую среднюю характеристику скорости перемешивания множества малой меры (точнее, набора таковых, образующих разбиение). Наряду с этой лглобальной
Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия. И. М. Виноградов. 1977—1985.