ЦЕЛАЯ ФУНКЦИЯ


ЦЕЛАЯ ФУНКЦИЯ

- функция, аналитическая но всей плоскости комплексного переменного (кроме, возможно, бесконечно удаленной точки). Она разлагается в степенной ряд

сходящийся во всей плоскости

Если всюду, то f(z)=eP(z), где Р(z)- Ц. <ф. Если имеется конечное число точек, в к-рых f(z) обращается в нуль, и эти точки - z1, z2, ..., zk (их наз. нулями функции), то


где P(z) есть Ц. ф.
В общем случае, когда у f(z) имеется бесконечно много нулей z1, z2, . . ., имеет место представление (см. Вейерштрасса теорема о бесконечном произведении)

где Р(z)есть Ц. ф., а если и равно кратности нуля z=0, если f(0)=0. Пусть


Если при больших r величина М(r) растет не быстрее то f(z) - многочлен степени не большей Следовательно, если f(z) не многочлен, то М(r)растет быстрее любой степени r. При оценке роста М(r)в этом случае берется в качестве функции сравнения показательная функция.
По определению, f(z) есть Ц. ф. конечного порядка, если имеется конечное такое, что

Нижняя грань множества чисел m, удовлетворяющих этому условию, наз. порядком Ц. ф. f(z). Порядок вычисляется по формуле

Если f(z) порядка удовлетворяет условию

то говорят, что f(z) - функция порядка и конечного типа. Нижняя грань множества чисел удовлетворяющих указанному условию, наз. типом Ц. ф. f(z). Он определяется из формулы

Среди Ц. ф. конечного типа различают Ц. ф. нормалъного типа и минимального типа Если условие (*) не выполняется при любом то Ц. ф. наз. Ц. ф. максимального, или бесконечного, типа. Ц. ф. порядка 1 и конечного типа, а также Ц. ф. порядка ниже 1, характеризуемые условием


наз. Ц. ф. экспоненциального типа.
Нули z1, z2, . . . Ц. ф. f(z) порядка r обладают свойством:


Пусть р- наименьшее целое такое, что Тогда (см. Адамара теорема о целых функциях) имеет место представление


где Р(z) - многочлен степени не выше
Для характеристики роста Ц. ф. f(z) конечного порядка и конечного типа вдоль лучей вводится величина


- роста индикатриса. Всегда


Если

где Е 0 -в нек-ром смысле малое множество (множество нулевой относительной меры), то нули f(z) расположены на плоскости в определенном смысле весьма правильно и имеется точно описываемая связь между и характеристикой (плотностью) нулей. Функции f(z) с таким свойством наз. функциями вполне регулярного роста.
Функция многих переменных f(z1, z2, . . ., zn )есть Ц. ф., если она является аналитической при (k=1, 2, . . ., n). Для нее вводятся понятия порядка и типа (сопряженных порядков и типов). Простого представления в виде бесконечного произведения здесь получить не удается, потому что в отличие от случая п=1 нули f(z) не являются изолированными.

Лит.:[1] Евграфов М. А., Асимптотические оценки и целые функции, 3 изд., М., 1979; [2] Левин Б. Я., Распределение корней целых функций, М., 1956; [3] Ронкин Л. И., Введение в теорию целых функций многих переменных, М., 1971.
А. Ф. Леонтъев.


Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия. . 1977—1985.

Смотреть что такое "ЦЕЛАЯ ФУНКЦИЯ" в других словарях:

  • Целая функция — функция, голоморфная во всей комплексной плоскости. Типичным примером целой функции может служить многочлен или экспонента, а также суммы, произведения и суперпозиции этих функций. Ряд Тейлора целой функции сходится во всей плоскости комплексного …   Википедия

  • ЦЕЛАЯ ФУНКЦИЯ — функция, аналитическая во всей плоскости комплексного переменного. Примерами целой функции служат многочлен a0 + a1z ... anzn, функции sin z, cos z …   Большой Энциклопедический словарь

  • ЦЕЛАЯ ФУНКЦИЯ — функция, аналитическая во всей плоскости комплексного переменного (кроме, возможно, бесконечно удалённой точки). Она разлагается в степенной ряд сходящийся во всей плоскости Если f(r) 0 всюду, то f(z) = eP(z), где P(z) Ц. ф. Если имеется конечное …   Физическая энциклопедия

  • целая функция — — [Л.Г.Суменко. Англо русский словарь по информационным технологиям. М.: ГП ЦНИИС, 2003.] Тематики информационные технологии в целом EN all zero function …   Справочник технического переводчика

  • целая функция — функция, аналитическая во всей плоскости комплексного переменного. Примерами целой функции служат многочлен a0 + a1z + ... + anzn, функции sinz , cos z, ez. * * * ЦЕЛАЯ ФУНКЦИЯ ЦЕЛАЯ ФУНКЦИЯ, функция, аналитическая во всей плоскости комплексного… …   Энциклопедический словарь

  • Целая функция —         функция, аналитическая во всей плоскости комплексного переменного (см. Аналитические функции). Примерами Ц. ф. могут служить алгебраический многочлен a0 + a1z +... + anzn, функции sinz, cosz, ez. Бесконечно удалённая точка является,… …   Большая советская энциклопедия

  • ЦЕЛАЯ ФУНКЦИЯ — функция, аналитическая во всей плоскости комплексного переменного. Примерами Ц. ф. служат многочлен а0 + a1z + ... +апzn, функции sin z, cos z, ez …   Естествознание. Энциклопедический словарь

  • Функция Миттаг-Леффлера — Функция Миттаг Леффлера  целая функция комплексного переменного , введённая Миттаг Леффлером в 1905 как обобщение показательной функции: , , Здесь обозначает Гамма функцию Эйлера …   Википедия

  • Функция Миттаг — Леффлера — Функция Миттаг Леффлера  целая функция Eρ(z) комплексного переменного z, введённая Миттаг Леффлером в 1905 как обобщение показательной функции: , , Здесь Γ обозначает Гамма функцию Эйлера. Литература Mittag Lef …   Википедия

  • ЦЕЛАЯ РАЦИОНАЛЬНАЯ ФУНКЦИЯ — (алгебраический) многочлен, (алгебраический) полином, функция вида где п целое неотрицательное, коэффициенты а 0, . . ., а п действительные или комплексные числа, z действительное или комплексное переменное. Если пназ. степенью многочлена,… …   Математическая энциклопедия

Книги

Другие книги по запросу «ЦЕЛАЯ ФУНКЦИЯ» >>


Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»

We are using cookies for the best presentation of our site. Continuing to use this site, you agree with this.