ХААРА МЕРА

ХААРА МЕРА
- ненулевая положительная мера на -кольце . подмножеств Елокально компактной группы G, порожденном семейством всех компактных подмножеств, принимающая конечные значения на всех компактных подмножествах в Gи удовлетворяющая либо условию левоинвариантности: для всех где либо условию правоинвариантности:

для всех где
Соответственно говорят о лево- или правоинвариантной X. м. Всякая X. м. -регулярна, т. е.
для всех
Левоинвариантная (а также правоинвариантная) Х. м. существует и определена однозначно с точностью до положительного множителя; это было установлено А. Хааром [1] (при дополнительном предположении о сепарабельности группы G).
Если f - финитная непрерывная функция на G, то f интегрируема относительно левоинвариантной X. м. на G и соответствующий интеграл левоинвариантен (см. Инвариантное интегрирование), т. е.
для всех Аналогичным свойством обладает правоинвариантная X. м. Мера Хаара всей группы G конечна тогда и только тогда, когда G компактна.
Если - левоинвариантная X. м. на G, то для любого имеет место равенство

где - непрерывный гомоморфизм группы G в мультипликативную группу R+ положительных действительных чисел, не зависящий от выбора непрерывной финитной функции f на G. Гомоморфизм наз. модулем группы G; мера является правоинвариантной X. м. на G. Если то группа Gназ. унимодулярной; в этом случае левоинвариантная X. м. является также и правоинвариантной и наз. двусторонне инвариантной. В частности, любая компактная, дискретная и абелева локально компактная группа, а также любая связная полупростая или нильпотентная группа Ли унимодулярна. Унимодулярность группы G равносильна также тому, что любая левоинвариантная Х. м. на G инверсионно инвариантна, т. е. для всех
Если G - группа Ли, то интеграл но левоинвариантной (правоинвариантной) X. м. на G определяется формулой

где - линейно независимые левоинвариантные (правоинвариантные) дифференциальные формы 1-го порядка на G (см. Маурера - Картана форма), п=dimG. Модуль группы Ли G определяется формулой

где Ad - присоединенное представление.

Примеры. 1) X. м. на аддитивной группе и на факторгруппе (группа вращений окружности) совпадает с обычной лебсговской мерой. 2) Полная линейная группа или С, унимодулярна, причем X. м. имеет вид

где k=n при и k=2n при a dx - лебеговская мора в евклидовом пространстве всех матриц порядка . над полем Ф.
Если G - локально компактная группа, H - ее замкнутая подгруппа, X - однородное пространство G/H, и - модули групп Gи Н соответственно, - непрерывным гомоморфизм группы G в задаваемый формулой

то существует положительная мера v на -кольце . множеств порожденном семейством компактных подмножеств в X, однозначно определяемая условием:


где f - любая непрерывная финитная функция на G, причем

для всех непрерывных финитных функций f на X.

Лит.: [1] Нааr A., лAnn. Math.


Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия. . 1977—1985.

Смотреть что такое "ХААРА МЕРА" в других словарях:

  • МЕРА — множества, обобщение понятия длины отрезка, площади фигуры, объема тела, интуитивно соответствующее массе множества при нек ром распределении массы по пространству. Понятие М. множества возникло в теории функций действительного переменного в… …   Математическая энциклопедия

  • Мера Хаара — Пусть   локально компактная хаусдорфова топологическая группа. Левой мерой Хаара в называется мера , определенная на кольце, порожденном всеми компактными множествами, не равная тождественно нулю, конечная на компактных множествах и такая,… …   Википедия

  • Мера множества — У этого термина существуют и другие значения, см. Мера. Мера множества  неотрицательная величина, интуитивно интерпретируемая как размер (объем) множества. Собственно, мера это некоторая числовая функция, ставящая в соответствие каждому… …   Википедия

  • ТАМАГАВЫ МЕРА — мера t на группе аделей GA связной линейной алгебраич. группы G, определенной над глобальным полем К, конструируемая следующим образом. Пусть ненулевая K определенная дифференциальная форма на Gмаксимальной степени. Для нормирования vиз множества …   Математическая энциклопедия

  • КВАЗИИНВАРИАНТНАЯ МЕРА — мера на некотором пространстве, остающаяся эквивалентной себе при сдвигах этого пространства. Более точно: пусть (X, В) измеримое пространство (т. е. множество Xс выделенной s алгеброй Вего подмножеств) и G некоторая группа его автоморфизмов (т.… …   Математическая энциклопедия

  • ИНВАРИАНТНАЯ МЕРА — 1) И. м. в измеримом пространстве относительно измеримого преобразования Тэтого пространства такая мера m на что m(A)=m(T 1A). для всех Обычно подразумевается, что мера конечная (т. е. или по крайней мере cr конечная (т. е. Xможно представить в… …   Математическая энциклопедия

  • ФАВАРА МЕРА — порядка рподмножества Мевклидова пространства Е n размерности п> р обобщение Xaycдopрфa меры;введена Ж. Фаваром [1]. Точное определение: на совокупности (n р) мерных аффинных подпространств пространства Е n его группа движений индуцирует… …   Математическая энциклопедия

  • ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ТОПОЛОГИЧЕСКОЙ ГРУППЫ — непрерывное отображение группы G в топологич. группу гомеоморфизмов нек рого топологич. пространства. Чаще всего под П. т. г. Gпонимается линейное представление, более того такое линейное представление л топологич. группы G в топологич. векторном …   Математическая энциклопедия

  • ГРАНИЧНЫЕ СВОЙСТВА АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ — свойства аналитич. функций, проявляющиеся при приближении к границе области определения. Можно считать, что понимаемое в самом широком смысле изучение Г. с. а. ф. началось с Сохоцкого теоремы и Пикара теоремы о поведении аналнтич. функций в… …   Математическая энциклопедия

  • ПЛОЩАДЬ — численная характеристика, приписываемая плоским фигурам определенного класса (напр., многоугольникам) и обладающая следующими свойствами: 1) П. неотрицательна; 2) П. аддитивна (в случае многоугольников это означает, что если фигура составлена из… …   Математическая энциклопедия

Книги



Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»