- УНАРНАЯ АЛГЕБРА
уноид,- универсальная алгебра
с семейством
унарных операций
Важный пример У. а. дает групповой гомоморфизмпроизвольной группы Gв группу SA всех подстановок множества А. Такой гомоморфизм наз. действием группы . на А. Определяя унарную операцию
для каждого элемента
как подстановку из SA, отвечающую элементу gпри гомоморфизме
получают У. а.
в к-рой
Структуру У. а. несет на себе любой модуль над кольцом. Каждый детерминированный полуавтомат с множеством состояний . и входными символами a1, . . ., а п также можно рассматривать как У. а. <S, f1, . . ., fn>, в к-рой fi(s)=ais есть состояние, следующее за состоянием sв зависимости от входного символа ai.
У. а. с одной основной операцией наз. моноунарной, или унаром. Примером унара может служить алгебра Пеано <Р, f>, где Р={1,2,. . .} и f(n)=n+1.
Тождества произвольной У. а. могут быть лишь следующих типов:Тождество II2 равносильно тождеству II, выполнимому лишь в одноэлементной алгебре. Многообразие У. а., определяемое лишь тождествами вида Il, I2 или I3, наз. регулярно определимым. Существует следующая связь между регулярно определимыми многообразиями У. а. и полугруппами (см. [1], [3], [4]).
Пусть V - регулярно определимое многообразие У. а., заданное множествомфункциональных символов и множеством
тождеств. Каждому символу fi сопоставляется элемент а i, а для каждого тождества вида I1 из
выписывается определяющее соотношение
Пусть Р - полугруппа с порождающимии выписанными определяющими соотношениями, a Р1 - полугруппа . свнешне присоединенной единицей е. Для каждого тождества вида I2 из
(если такие имеются) выписывают определяющее соотношение
Полугруппу Р V, получаемую из Р 1 присоединением всех таких определяющих соотношений, и считают соответствующей многообразию V. Она во многом характеризует это многообразие. Если
содержит лишь тождества вида Il, то можно ограничиться построением лишь полугруппы Р. Определяя в Р V унарные операции fi(x)=xai, получают У. а.
к-рая является V-свободной алгеброй ранга 1. Группа всех автоморфизмов У. а.
изоморфна группе
обратимых элементов полугруппы Р V.
Лит.:[1] Мальцев А. И., Алгебраические системы, М., 1970; [2] Биркгоф Г., Барти Т., Современная прикладная алгебра, пер. с англ., М., 1976; [3] Смирнов Д. М., лАлгебра и логика
Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия. И. М. Виноградов. 1977—1985.