СФЕРИЧЕСКОЕ ОТОБРАЖЕНИЕ

отображение гладкой ориентируемой (гипер)поверхности M^k пространства E^k+l в (единичную) сферу S^k с центром в начале координат E^k+l, сопоставляющее точке точку с радиус-вектором - (единичной) нормалью к M^k в х. Иначе, С. о. определяется поливектором, построенным из kнезависимых векторов, касательных к M^k:

(здесь u¹, . . ., u^k - локальные координаты точки х, -радиус-вектор M^k). Напр., при k=2

где - векторное произведение; этот простейший случай был рассмотрен К. Гауссом (С. Gauss, 1814). Образ С. о. наз. сферическим изображением M^k, или его сферическим образом. Форма ,

-обратный образ метрич. формы S^k - наз. третьей квадратичной формой (гипер)поверхности M^k. Отвечающий ей тензор связан с тензорами g_ij и b_ij соответственно пepвoй и второй квадратичных форм соотношением а метрич. связности, соответствующие и оказываются сопряженными связностями.
Наряду со С. о. в случае (гипер)поверхности, однозначно проектирующейся на нек-рую (гипер)плоскость, удобно рассматривать т. <н. нормальное отображение Для (гипер)поверхности, заданной уравнением (здесь х ⁱ - декартовы координаты в E^k+l). оно определяется так:

где при этом

Для неориентируемых (гипер)поверхностей используется т. н. неориентируемое С. о.- отображение M^k в эллиптич. пространство Э ^k (интерпретируемое как связка прямых, проходящих через центр E^k+l): точке ставится в соответствие прямая, перпендикулярная касательной плоскости к М ^к в х.
С. о. характеризует искривленность (гипер)поверхности в пространстве. Именно, отношение элементов площадей сферич. образа dS* и самой поверхности dS в точке равно полной (или кронекеровой, или внешней) кривизне К _l - произведению главных кривизн М ^k в х:

Точно так же (интегральная) кривизна множества равна площади его сферич. образа (т. е. множества

Обобщения сферического отображения.
1) Касательное представление - С. о. подмногообразия М ^к в E^N - отображение

где G_K,M -Грaссмана многообразие, определяемое (здесь) следующим образом. Пусть Т _х - касательное пространство к M^k в точке х, к-рое можно считать (гипер)плоскостью в E^N, а Т(х)есть K-мерное подпространство, проходящее через начало координат Е ^N- параллельно Т _х. Отображение и наз. С. о. Имеет место обобщение формулы (1) (для четных k):

здесь где - кривизны форма на - аналогичная форма на G_K,H, T_N(M^k) - образ M^k при С. о. Двойственным образом определяется нормальное отображение точке сопоставляется ортогональное дополнение к Т(х).

2) Гауссово отображение (г. о.) векторного расслоения в векторное пространство F^N, - (произвольное) отображение

пространства расслоения индуцирующее на каждом слое линейный мономорфизм. Для канонического векторного расслоения (подрасслоения расслоения-произведения пространство к-рого состоит из всевозможных нар отображение наз. каноническим гауссовым отображением. Для любого расслоения каждое г. о. является композицией канонич. г. о. и нек-рого морфизма расслоений; г. о. существует тогда и только тогда, когда существует такое отображение ( В - база расслоения) что и изоморфны (в частности, для каждого векторного расслоения над паракомпактным пространством существует г. о. в Для подмногообразий риманова пространства имеется несколько обобщений С. о.

3) Локально гауссово отображение. Пусть U- риманова нормальная координатная окрестность точки - сужение на Uнормального расслоения многообразия M^k. Тогда отображение

где - соответственно касательная и нормальная (гипер)плоскости к M^k в х, наз. локально гауссовым, если есть параллельный перенос в V^N вектора z назад вдоль геодезич. луча в U, идущего из хв начальную точку вектора z. Если имеет тривиальную группу голономии, то перенос не зависит от пути, так что можно определить глобальное отображение Gна согласованно с G_U на

4) Ефимовcкое отображение относится к поверхностям М ² в римановом пространстве V³ и является развитием упомянутого выше понятия сопряженных связностей. Оно определяется более формально из-за отсутствия абсолютного параллелизма в V³ и рассматривает аналог третьей квадратич. формы - квадрат ковариантного дифференциала нормали - При этом связь гауссовых кривизн K(ds* )и К(ds )оказывается более сложной (вследствие неоднородности, вообще говоря, уравнений Кодацци). Эта связь oстается прежней, т. е. здесь К(ds), K(|Dn| )-гауссовы кривизны метрик ds и |Dn| (в случае V³=E³ К(ds) = K_l), и получается прежняя формула K(|Dn|)=K(|dn|)=1, где K_l - внешняя кривизна M² в V³, напр, в следующей ситуации: нормаль к М ² является собственным вектором Риччи тензора пространства V³ (рассматриваемого в точках М ²), другими словами, M² - одна из главных поверхностей этого тензора. Это всегда так, если V³ является пространством постоянной кривизны.
Наконец, понятие С. о. вводится для нек-рых классов нерегулярных поверхностей.

5) Полярное отображение - С. о. выпуклой (гипер)поверхности F^k в E^k+1,сопоставляющее точке множество v(х)всех тех единичных векторов, отложенных от начала координат, к-рые параллельны нормалям к опорным (гипер)плоскостям к F^k в х. Теорема Александрова: сферич. образ v(А)каждого борелевского множества измерим, и интегральная кривизна К(A) = mes v(A)есть вполне аддитивная функция.

Лит.:[1] Каган В. Ф.,Основы теории поверхностей . . . , ч. 2, М.-Л., 1948; [2] Бакельман И. Я., Вернер А. Л., Кантор Б. Е., Введение в дифференциальную геометрию лв целом