СУММАТОРНАЯ ФУНКЦИЯ

функции f - функция обозначающая сумму значений f(n) на множестве натуральных чисел С. ф. являются одним из основных средств выражения разнообразных свойств числовых последовательностей. Примеры С. ф.: число простых чисел - Чебышева функция, число делителей всех и т. п. (см. [1], [2]).
Основная задача состоит в том, чтобы найти возможно более точное асимптотич. выражение С. ф., а для С. ф., не имеющей асимптотики, наилучшую оценку ее модуля для больших значений х.
В основе аналитич. методов изучения С. ф. лежат Коши интегральная теорема и Дирихле ряды вида

Если такой ряд абсолютно сходится при то для нецелого справедливо тождество

из к-рого, имея аналитич. родолжение F(s)переносом Пути интегрирования влево на нек-рое Re за счет оценок интеграла по новому контуру, получается соответствующая оценка для С. ф. f. В случае напр., интегрирование можно перенести на что дает формулу Римана - Мангольдтa для Из общих применений метода известна следующая теорема.
Предположения: f(п), l _п - комплексные числа, - действительные числа, - положительные числа, и v - целые числа Г - гамма-функция,

1) Для любого
2) Определенная для функция мероморфна во всей плоскости и имеет конечное число полюсов в полосе

3) Ряд абсолютно сходится при

4) Для

5)

6) Если положить

то

Для фиксированной полосы найдется постоянная такая, что и больших |t| имеет место оценка

Заключение. Для любого имеют

где R(х) - сумма вычетов функции для всех ее полюсов в полосе

Лит.:[1] Титчмарш Е. К., Теория дзета-функции Римана, пер. с англ., М., 1953; [2] Xуа Ло-ген, Метод тригонометрических сумм и его применения в теории чисел, пер. с нем., М., 1964.
А. Ф. Лаврик.