СРАВНЕНИЕ ОТ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ

сравнение вида

где f(x₁,, . . ., х _п) - многочлен от переменных с целыми рациональными коэффициентами, не все из к-рых делятся на т. Разрешимость такого сравнения для составного модуля где р ₁, . . .,p_s - различные простые числа, равносильна разрешимости сравнений

для всех i=l, . . ., s. При этом число Nрешений сравнения (1) равно произведению N₁. . -.N_s, где N_i- число решений сравнения (2). Таким образом, при изучении сравнений вида (1) достаточно ограничиться модулями, являющимися степенями простых чисел. Для разрешимости сравнения

необходимо, чтобы было разрешимо сравнение

по простому модулю р. В невырожденных случаях разрешимость сравнения (4) является также и достаточным условием для разрешимости сравнения (3). Точнее, справедливо следующее утверждение: каждое решение сравнения (4) такое, что
хотя бы для одного i=l, 2, . . ., ппорождает решений сравнения (3), причем при i=l, 2, ...,n.
Итак, в невырожденном случае вопрос о числе решений сравнения (1) по составному модулю тсводится к вопросу о числе решений сравнений вида (4) по простым модулям р, делящим т. Если f(x₁, . . ., х _п) - абсолютно неприводимый многочлен с целыми рациональными коэффициентами, то для числа N _р решений сравнения (4) имеет место оценка

где константа С(f) зависит только от многочлена f и не зависит от р. Из этой оценки, в частности, следует, что сравнение (4) разрешимо для всех простых р, больших нек-рой эффективно вычислимой константы С ₀(f), зависящей от данного многочлена f(x₁,, . . ., х _п) (см. также Сравнение по простому модулю). Более сильный результат в этом вопросе получен П. Делинем [3].

Лит.:[1] Боревич З. И., Шафаревич П. р., Теория чисел, 2изд., М., 1972; [2] Xассе Г., Лекции по теории чисел, пер. с нем., М., 1953; [3] Deligne P., лPubl. Math. IHES