СИЛЬНЫЙ ЭКСТРЕМУМ

- минимальное или максимальное значение , достигаемое функционалом на кривой , , для к-рого выполняется одно из неравенств

для всех кривых сравнения у(х), находящихся в e-окрестности кривой . Кривые должны удовлетворять заданным граничным условиям.

Поскольку максимизация функционала J(у)эквивалентна минимизации функционала - J(y),то часто вместо сильного экстремума говорят о сильном минимуме. Термин "сильный" подчеркивает, что на кривые сравнения у(х)наложено условие e-близости только по у(х):

на всем промежутке [х ₁, х₂],тогда как по производной кривые у(х)и могут отличаться как угодно "сильно".

По самому своему определению С. э. является сильным относительным экстремумом, поскольку дает экстремум не абсолютный, т. е. не на всем классе допустимых кривых сравнения у(х),на к-рых функционал J(у)имеет смысл, а локальный, относительный, соответствующий подмножеству всех допустимых кривых сравнения, находящихся в e-окрестности кривой . Однако для краткости термин "относительный" часто опускают и говорят о С. э., имея в виду сильный относительный экстремум (см. Сильный относительный минимум).

Лит.:[1] Л а в р е н т ь е в М. А., Л ю с т е р н и к Л. А., Курс вариационного исчисления, 2 изд., М.-Л., 1950; [2] С м и р н о в В. И., Курс высшей математики, 3 изд., т. 4, М., 1957. И. Б. Вапнярский.