РИЧЧИ ТОЖДЕСТВО


РИЧЧИ ТОЖДЕСТВО

- 1) Тождество, выражающее одно из свойств Римана тензора:


Для ковариантного тензора тождество имеет вид


т. е. циклирование по трем первым индексам дает нуль.

2) Тождество, к-рому должны удовлетворять ковариантные производные 2-го порядка относительно метрич. тензора gij риманова пространства Vn, отличающиеся лишь порядком дифференцирования. Если li - тензор 1-й валентности, - ковариантная производная 2-го порядка по xj и по относительно тензора gji, то Р. т. имеет вид


где - тензор Римана, определяемый метрич. тензором gij, то есть в метрике пространства Vn (иными словами, альтернированная 2-я абсолютная производная тензорного поля li в метрике gij выражается через тензор Римана и компоненты li).

Для ковариантного тензора 2-й валентности aij Р. т. имеет вид


Вообще, для ковариантного тензора m-й валентности ar1...rm тождество имеет вид


Аналогичные тождества образуются и для ковариантных и смешанных тензоров в Vn. Р. т. применяется, напр., при построении геометрии подпространств в V п в качестве условия интегрируемости основных деривариационных уравнений, из к-рого выводятся уравнения Гаусса и Петерсона - Кодацци для подпространств в Vn.

Тождество установлено Г. Риччи (см. [1]).

Лит.:[1] R i с с i G., L е v i-C i v i t а Т., "Math. Ann.", 1901, Bd 54, S. 125-201; [2] Р а ш е в с к и й П. К., Риманова геометрия и тензорный анализ, 3 изд., М., 1967; [3] Э й з е н х а р т Л. П., Риманова геометрия, пер. с англ., М., 1948. Л. А. Сидоров.


Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия. . 1977—1985.

Смотреть что такое "РИЧЧИ ТОЖДЕСТВО" в других словарях:

  • Второе тождество Бьянки — В дифференциальной геометрии тензор кривизны Римана представляет собой стандартный способ выражения кривизны римановых многообразий, а в общем случае произвольных многообразий аффинной связности, без кручения или с кручением. Назван в честь… …   Википедия

  • Первое тождество Бьянки — В дифференциальной геометрии тензор кривизны Римана представляет собой стандартный способ выражения кривизны римановых многообразий, а в общем случае произвольных многообразий аффинной связности, без кручения или с кручением. Назван в честь… …   Википедия

  • КРИВИЗНА — собирательное название ряда количественных характеристик (численных, векторных, тензорных), описывающих отклонение свойств того или иного объекта (кривой, поверхности, риманова пространства и др.) от соответствующих объектов (прямая, плоскость,… …   Математическая энциклопедия

  • Тензор кривизны — Риманов тензор кривизны представляет собой стандартный способ выражения кривизны римановых многообразий, а в общем случае  произвольных многообразий аффинной связности, без кручения или с кручением. Назван в честь Бернхарда Римана.… …   Википедия

  • Конфуцианство — Эта статья или раздел нуждается в переработке. Пожалуйста, улучшите статью в соответствии с правилами написания статей …   Википедия

  • КРИВИЗНЫ ТЕНЗОР — (Римана тензор) локальная характеристика кривизны в римановой геометрии. К. т. определяют с помощью процедуры параллельного переноса вектора вдоль замкнутой кривой в римановом пространстве. Параллельным (ковариантно постоянным) вдоль кривой наз.… …   Физическая энциклопедия

  • Риманова кривизна — В дифференциальной геометрии тензор кривизны Римана представляет собой стандартный способ выражения кривизны римановых многообразий, а в общем случае произвольных многообразий аффинной связности, без кручения или с кручением. Назван в честь… …   Википедия

  • Секционная кривизна — В дифференциальной геометрии тензор кривизны Римана представляет собой стандартный способ выражения кривизны римановых многообразий, а в общем случае произвольных многообразий аффинной связности, без кручения или с кручением. Назван в честь… …   Википедия

  • РИМАНОВА ГЕОМЕТРИЯ — теория риманова пространства. Р и м а н о в ы м п р о с т р а н с т в о м наз. n мерное связное дифференцируемое многообразие М п, на к ром задано дифференцируемое поле ковариантного, симметрического и положительно определенного тензора gранга 2 …   Математическая энциклопедия

  • Гиперповерхность — Эта статья или раздел нуждается в переработке. Пожалуйста, улучшите статью в соответствии с правилами написания статей. Гиперповерх …   Википедия