РЕКУРРЕНТНЫЕ СОБЫТИЯ

в п о с л е д о в а т е л ь н о с т и п о в т о р н ы х и с п ы т а н и й с о с л у ч а й н ы м и и с х о д а м и - ряд событий A₁ А₂,. . ., А _n,. . . таких, что наступление события А _п определяется исходами первых n испытаний, n=1,2,. . ., а при условии, что наступило событие А _п, наступление события А _m, m>n, определяется исходами (n+1)-ro, (n+2)-ro и т. <д. до m-гo испытаний, причем при условии одновременного наступления событий А _n и А _т(m>n) исходы первых пи последующих т-п испытании условно независимы.

Более точно, пусть X - совокупность (конечная или счетная) всех исходов отдельного испытания, X^[1,n]- пространство последовательностей (х ₁,. .., х _n), , i=l,. . ., п, исходов при писпытаниях, n=1, 2, 3,. . ., и - пространство бесконечных последовательностей (x₁, .., х _п...),, исходов, в к-ром задано нек-рое распределение вероятностей р.

Пусть в каждом пространстве Х ^{[1, п]}, n=1,2,. . ., выделено нек-рое подмножество так, что для любых n и т,, последовательность такая, что , принадлежит e_m в том и только в том случае, когда последовательность

Если последнее условие выполнено и , то

где для последовательности через обозначена последовательность

Событие

наз. р е к у р р е н т н ы м с о б ы т и е м, наступившим после n испытаний.

П р и м е р ы. 1) В последовательности независимых бросаний монеты - события, состоящие, соответственно, в том, что при писпытаниях герб и решка выпадут одинаковое Число раз (такое событие возможно только при четных п).

2) При случайном блуждании точки по одномерной решетке Z¹, начинающемся в нуле (с независимыми при разных шагах переходами в соседние точки с вероятностями р и ), события, состоящие, соответственно, в том, что блуждающая точка окажется в нуле после п- гошага, n=2,4,. . ., являются рекуррентными.

Лит.:[1] Ф е л л е р В., Введение в теорию вероятностей и ее приложения, пер. с англ., 2 изд., т. 1, М., 1967.

Т. Ю. Попова.