БИБЕРБАХА - ЭЙЛЕНБЕРГА ФУНКЦИИ

в круге - класс Rфункций , регулярных в круге , имеющих в нем разложение вида

и удовлетворяющих условию

Этот класс функций является естественным расширением класса Вфункций , регулярных в круге имеющих разложение (1) и таких, что в круге Класс однолистных функций из Rобозначают . Функции класса Rбыли названы по имени Л. Бибербаха [1], показавшего, что для имеет место неравенство

причем равенство в (2) достигается только для функции где действительное, и С. Эйленберга [2], установившего справедливость неравенства (2) во всем классе R. В. Рогозинский [3] показал, что каждая функция класса Rподчинена (см. Подчинения принцип) нек-рой функции из класса . Из (2) для получается точное неравенство

В классе Rполучена следующая оценка модуля функции: если , то

и равенство в (4) реализуется только функциями , где действительное, а

Экстремальных метрик методом была решена задача о максимуме и минимуме в классе функций из с фиксированным значением в разложении (1): для справедливы точные неравенства

где функции отображают круг на области, симметричные относительно мнимой оси плоскости w, границы к-рых принадлежат объединений замыканий нек-рых траекторий или ортогональных траекторий квадратичного дифференциала на плоскости w в расположении нулей и полюсов к-рого имеется определенная симметрия (см. [4], [5]). Нек-рые окончательные результаты для функций класса R^~ (с) были получены одновременным использованием метода экстремальных метрик и метода симметризации (см. [4])

Большое число результатов для функции классов является следствием соответствующих результатов для систем функций, отображающих круг на взаимно неналегающие области (см. [6]). Аналогом класса Rдля конечно связной области G, не имеющей изолированных граничных точек и не содержащей точки является класс функций регулярных в G и удовлетворяющих условиям , - любые точки области G. Класс расширяет класс функций , регулярных в б и таких, что в области G. Распространением результата Бибербаха - Эйленберга и неравенства (3) на функции класса является следующая точная оценка: если то

где - та из функций класса для к-рой в этом классе.

Лит.: [1] Bieberbach L., "Math. Ann.", 1916, Bd 77, S. 153-72; [2] Eilenberg S., "Fundam. math.", 1935, v. 25, p. 267-72; [3] Rogosinski W., "J. London Math. Soc.", 1939, v. 14, № 1, p. 4-11; [4] Дженкинс Д ж., Однолистные функции и конформные отображения, пер. с англ., М., 1962; [5] Jеnkins J. A., "Trans. Amer. Math. Soc.", 1965, v. 119, № 2, p. 195-215; [6] Лебедев Н. А., Принцип площадей в теории однолистных функций, М., 1975.

Г. В. Кузьмина.