БЕСКОНЕЧНОСТИ АКСИОМА

аксиома формальной или содержательной теории, обеспечивающая на-. личие бесконечного количества объектов в рассматриваемой теории. Так, Б. <а. в нек-рой системе аксиоматической теории множеств обеспечивает существова-ние бесконечного множества. Напр., в языке аксиоматич. системы Цермело - Френкеля Б. <а. Обычно записывают в виде:

("существует множество X такое, что и для всякого Z , принадлежащего X , множество также принадлежит X").

В простой типов теории, ввиду специфич. ограничений на язык теории, принята другая формулировка Б. а.: существует отношение, к-рое задает на множестве индивидов линейный порядок без последнего элемента. Во многих теориях удобно применять так наз. аксиому бесконечности Дедекинда: существует множество, взаимно однозначно отобразимое в свою собственную часть. С помощью выбора аксиомы нетрудно показать эквивалентность аксиомы бесконечности Дедекиида другим упомянутым формам Б. а. Известно, однако, что без аксиомы выбора эту эквивалентность обычными теоретико-множественными методами доказать нельзя.

В теории множеств употребляются также так наз. высшие аксиомы бесконечности, утверждающие существование множеств весьма высокой мощности: аксиома существования недостижимого кардинала, аксиома существования измеримого кардинала и т. н.

В логике. <предикатов Б. <а. наз. формулы, выполнимые лишь на бесконечном множестве. С точки зрения доказательств теории такие формулы утверждают, вообще говоря, меньше, чем Б. <а. в аксиоматич. теории множеств: они обеспечивают бесконечность совокупности объектов исследования, но могут и не обеспечивать существования бесконечного объекта исследования. Показано, что существует бесконечное количество попарно неэквивалентных Б. а. логики предикатов.

А. Г. Драгалин.