ПРЯМОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ

ПРЯМОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ

- одна из основных общематематич. конструкций, идея к-рой принадлежит Декарту; поэтому П. п. наз. также декартовым произведением. П. п., или просто произведением, двух непустых множеств X и Y наз. множество , состоящее из всех упорядоченных пар вида ( х, у), где


Если одно из множеств Xили Y пусто, то произведение пусто. Множество можно отождествить с множеством функций, определенных на двухэлементном множестве {1, 2} и принимающих значения в множестве Xпри значении аргумента, равном 1, и в множестве Yпри значении аргумента, равном 2. Это отождествление позволяет распространить определение П. п. на случай любого количества множителей. Пусть I - нек-рое множество индексов и пусть Xi - произвольное семейство множеств, заиндексированных элементами множества I. П. п. семейства множеств наз. множество таких функций , где , что для каждого . Обычно П. п. обозначается ; для конечного множества индексов I= {1, ..., п}используются также обозначения или . Если I состоит из одного элемента 1, то . Иногда П. п. конечного числа множителей определяется индуктивно:


Значение конструкции П. п. определяется прежде всего тем, что в нем естественно вводится дополнительная структура, если все множители являются однотипными математич. структурами. Напр., пусть Xi, ,- однотипные алгебраич. системы, т. е. множества с общей сигнатурой конечноместных предикатов и операций. Тогда произведение превращается в алгебраич. систему с той же сигнатурой: для функций и n-арной операции w действие функции f1. ..fnw на элемент iопределяется равенством


значение предиката Р(f1, . . ., fn) истинно, если для любого истинно значение P(f1(i), . . ., fn(i)). При этом выполнение во всех Xi определенных тождеств влечет за собой их выполнение в произведении. Поэтому П. п. полугрупп, групп, колец, векторных пространств и т. п. снова являются полугруппами, группами, кольцами, векторными пространствами соответственно.

Для любого множителя П. п. существует естественная проекция , определяемая равенством fpi=f(i). Множество Xи семейство проекций , обладают следующим универсальным свойством: для любого семейства отображений существует такое однозначно определенное отображение , что gi=hpi для каждого . Это свойство сохраняется в случае, когда все Xi - однотипные алгебраич. системы, и позволяет определить подходящую топологич. структуру П. п. топологич. пространств. Сформулированное свойство лежит в основе определения произведения объектов категории.

Многие задачи математики связаны с описанием математич. объектов, неразложимых в П. п., и с выяснением условий, при к-рых множители произведения определены однозначно с точностью до изоморфизма. Классич. результатами здесь являются теорема о строении конечно порожденных модулей над кольцом главных идеалов и теорема Ремака - Шмидта о центральном изоморфизме прямых разложений групп с главным рядом.

П. п. иногда наз. полным прямым произведением в отличие от дискретного прямого произведения (или прямой суммы), к-рое определяется в тех случаях, когда дополнительная структура в множителях позволяет выделить одноэлементные подструктуры (напр., единичные подгруппы, нулевые подпространства и т. п.). Как правило, П. п. конечного числа множителей совпадает с дискретным произведением. М. Ш. Цаленко.


Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия. . 1977—1985.

Смотреть что такое "ПРЯМОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ" в других словарях:

  • Прямое произведение — Прямое или декартово произведение  множество, элементами которого являются всевозможные упорядоченные пары элементов исходных двух множеств. Данное понятие употребляется не только в теории множеств, но также в алгебре, топологии и прочих… …   Википедия

  • прямое произведение — — [http://www.iks media.ru/glossary/index.html?glossid=2400324] Тематики электросвязь, основные понятия EN direct product …   Справочник технического переводчика

  • Прямое произведение графов — Прямое или декартово произведение множеств  множество, элементами которого являются всевозможные упорядоченные пары элементов исходных двух множеств. Данное понятие употребляется не только в теории множеств, но также в алгебре, топологии и прочих …   Википедия

  • Прямое произведение групп — Прямое или декартово произведение множеств  множество, элементами которого являются всевозможные упорядоченные пары элементов исходных двух множеств. Данное понятие употребляется не только в теории множеств, но также в алгебре, топологии и прочих …   Википедия

  • Прямое произведение множеств — Прямое или декартово произведение множеств  множество, элементами которого являются всевозможные упорядоченные пары элементов исходных двух множеств. Данное понятие употребляется не только в теории множеств, но также в алгебре, топологии и прочих …   Википедия

  • Произведение (теория категорий) — Произведение двух или более объектов  это обобщение в теории категорий таких понятий, как декартово произведение множеств, прямое произведение групп и произведение топологических пространств. Произведение семейства объектов  это в… …   Википедия

  • Декартово произведение — Прямое или декартово произведение множеств  множество, элементами которого являются всевозможные упорядоченные пары элементов исходных двух множеств. Данное понятие употребляется не только в теории множеств, но также в алгебре, топологии и прочих …   Википедия

  • Декартово произведение групп — Прямое или декартово произведение множеств  множество, элементами которого являются всевозможные упорядоченные пары элементов исходных двух множеств. Данное понятие употребляется не только в теории множеств, но также в алгебре, топологии и прочих …   Википедия

  • Декартово произведение множеств — Прямое или декартово произведение множеств  множество, элементами которого являются всевозможные упорядоченные пары элементов исходных двух множеств. Данное понятие употребляется не только в теории множеств, но также в алгебре, топологии и прочих …   Википедия

  • Тензорное произведение — операция над линейными пространствами, а также над элементами (векторами, матрицами, операторами, тензорами и т.д.) перемножаемых пространств. Тензорное произведение линейных пространств и есть линейное пространство, обозначаемое . Для элементов… …   Википедия

Книги

Другие книги по запросу «ПРЯМОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ» >>


Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»