ПРЯМАЯ СУММА


ПРЯМАЯ СУММА

- конструкция, широко используемая в теориях таких математич. структур, категории к-рых близки к абелевым категориям;в неабелевом случае конструкция прямой суммы обычно наз. дискретным прямым произведением. Пусть - нек-рый класс однотипных алгебраич. систем, содержащих одноэлементную (нулевую) подсистему. Прямой суммой или (дискретным) прямым произведением систем , из класса U наз. подсиcтема прямого произведения, состоящая из таких функций , все значения к-рых, кроме конечного числа, принадлежат соответствующим нулевым подсистемам. П. с. обозначается одним из следующих способов:


Для конечного числа слагаемых используются также обозначения


Непосредственно из определений следует совпадение П. с. и прямого произведения в случае конечности числа слагаемых.

Для каждого слагаемого П. с. существует канонич. вложение , к-рое элементу сопоставляет функцию , принимающую значение хпри значении аргумента iи равную нулю в остальных случаях. Следовательно, можно считать, что П. с. содержит свои слагаемые. В случае W-групп (в частности, в случае групп, абелевых групп, векторных пространств, колец) можно дать "внутреннее" определение П. с. W-группа G является П. с. своих W-подгрупп , если выполнены следующие условия: a) Gпорождается ; б) каждая W-подгруппа Gi является идеалом в G; в) пересечение Gi с W-подгруппой, порожденной остальными идеалами, является нулевой подгруппой для каждого i.

Всякое векторное пространство есть П. с. одномерных подпространств. Всякая свободная абелева группа является П. с. бесконечных циклич. групп. Всякая конечная абелева группа есть П. с. примерных циклич. групп. Всякое ассоциативное кольцо с единицей, удовлетворяющее условию минимальности для идеалов, есть П. с. конечного числа полных колец линейных преобразований подходящих конечномерных векторных пространств.

В теории групп, решеток и категорий глубокое развитие получила проблема изоморфизма прямых разложений, начало к-рой было положено теоремой Ремака - Шмидта о центральном изоморфизме прямых разложений групп, обладающих главным рядом (см. Крулля - Ремака - Шмидта теорема).

В теории категории иногда П. с. паз. понятие, двойственное понятию произведения, т. е. копроизведение объектов категории. М. Ш. Цаленко.


Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия. . 1977—1985.

Смотреть что такое "ПРЯМАЯ СУММА" в других словарях:

  • Прямая сумма — Символ означает взятие прямой суммы; это также символ Земли в астрономии и астрологии и символ операции исключающее «или». Прямая сумма производный математический объект, создаваемый по определённым ниже правилам из базовых объектов. В качестве… …   Википедия

  • Теория категорий — Теория категорий  раздел математики, изучающий свойства отношений между математическими объектами, не зависящие от внутренней структуры объектов. Теория категорий занимает центральное место в современной математике[1], она также нашла… …   Википедия

  • Категория (математика) — Теория категорий  раздел математики, изучающий свойства отношений между математическими объектами, не зависящие от внутренней структуры объектов. Некоторые математики[кто?] считают теорию категорий слишком абстрактной и непригодной для… …   Википедия

  • Контравариантный функтор — Теория категорий  раздел математики, изучающий свойства отношений между математическими объектами, не зависящие от внутренней структуры объектов. Некоторые математики[кто?] считают теорию категорий слишком абстрактной и непригодной для… …   Википедия

  • Морфизм — Теория категорий  раздел математики, изучающий свойства отношений между математическими объектами, не зависящие от внутренней структуры объектов. Некоторые математики[кто?] считают теорию категорий слишком абстрактной и непригодной для… …   Википедия

  • МОДУЛЬ — абелева группа с кольцом операторов. М. является обобщением (линейного) векторного пространства над полем Кдля случая, когда Кзаменяется нек рым кольцом. Пусть задано кольцо А. Аддитивная абелева группа Мназ. левым А модулем, если определено… …   Математическая энциклопедия

  • ЛИ АЛГЕБРА — лиева алгебра, унитарный k модуль Lнад коммутативным кольцом k с единицей, к рый снабжен билинейным отображением прямого произведения в L, обладающим следующими двумя свойствами: 1) [ х, х] = 0 (откуда вытекает антикоммутативность 2) ( х,[ у,… …   Математическая энциклопедия

  • Блочная матрица — Блочная (клеточная) матрица  представление матрицы, при котором она рассекается вертикальными и горизонтальными линиями на прямоугольные части  блоки (клетки): , где блок имеет размер …   Википедия

  • Топология — (от греч. tоpos место и …логия (См. ...Логия)         часть геометрии, посвященная изучению феномена непрерывности (выражающегося, например, в понятии предела). Разнообразие проявлений непрерывности в математике и широкий спектр различных… …   Большая советская энциклопедия

  • Эллиптическая кривая — Не следует путать с Эллипс. Эллиптическая кривая над полем K  это множество точек проективной плоскости над K, удовлетворяющих уравнению вместе с точкой на бесконечности. Эллиптические кривые являются одним из основных объектов изучения в… …   Википедия


Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»

We are using cookies for the best presentation of our site. Continuing to use this site, you agree with this.