ПРОИЗВЕДЕНИЕ

семейства объектов категории - понятие, описывающее на языке морфизмов конструкцию декартова произведения. Пусть - индексированное семейство объектов категории . Объект (вместе с морфизмами ) наз. произведением семейства объектов , если для всякого семейства морфизмов , существует такой единственный морфизм , что . Морфизмы p_i наз. проекциями произведения; П. обозначается , или , или A₁X...X А _n в случае I={1, ..., п}. Морфизм а, входящий в определение П., иногда обозначается или . П. семейства , определено однозначно с точностью до изоморфизма; оно ассоциативно и коммутативно. Понятие П. семейства объектов двойственно понятию копроизведения семейства объектов.

Произведением пустого семейства объектов является правый нуль (терминальный объект) категории. В большинстве категорий структуризованных множеств (категории множеств, групп, топологич. пространств и т. д.) понятие П. семейства объектов совпадает с понятием декартова (прямого) П. этих объектов. Тем не менее такое совпадение но является обязательным: в категории периодических абелевых групп П. семейства групп , есть иериодич. часть декартова П. этих групп, к-рая в общем случае отличается от самого декартова П.

В категориях с нулевыми морфизмами для любого произведения существуют такие однозначно определенные морфизмы , что s_ip_i=l_Ai, s_ip_i=0 при . Если I конечно, то в абелевой категории p₁s₁+. . .+p_ns_n=1 и П. семейства объектов А ₁, . .., А _п совпадает с их копроизведением.

Лит.:[1] Цаленко М. III., Шульгейфер Е. Г., Основы теории категорий, М., 1974. М. Ш. Цаленко.