ПРИБЛИЖЕНИЕ ФУНКЦИЙ

случай многих действительных переменных - случай, когда приближаемая функция f зависит от двух и большего числа переменных: (см. Приближение функций). По сравнению с одномерным случаем исследование вопросов приближения функций т(т 2) переменных значительно усложняется ввиду появления принципиально новых обстоятельств, связанных с многомерностью. Прежде всего это касается области, на к-рой осуществляется приближение. Просто связный компакт (в одномерном случае - отрезок) в (даже на плоскости) может иметь самую разнообразную конфигурацию, и возникает необходимость классифицировать области в зависимости, напр., от гладкостных свойств их границ. Сложности появляются и при описании дифференциально-разностных свойств функций тпеременных. Эти свойства могут быть, вообще говоря, различными по разным направлениям, их характеризация должна учитывать как геометрию области определения, так и поведение функции при подходе к границе, так что большое значение приобретает изучение граничных свойств функций. Если пытаться упростить решение аппроксимационной задачи переходом к области более простой структуры, то возникает проблема возможности продолжения функции f из области в нек-рую содержащую Qканонич. область Q₁ (напр., в параллелепипед или на все пространство ) с сохранением тех или иных гладкостных свойств (см. Продолжения теоремы). Этот круг вопросов тесно связан с вложения теоремами, а также с проблемами, возникающими при решении краевых задач математич. физики.

Увеличение числа независимых переменных, естественно, усложняет и аппарат приближения, ибо увеличивается его размерность при том же, напр., порядке полиномов. Алгебраич. многочлен степени n₁, . . ., п _т соответственно по переменным t₁,. . ., t_m имеет вид

(1)

( - действительные коэффициенты, суммирование ведется по k_v , v= 1,. . ., т, от 0 до n_v), так что, напр., подпространство многочленов степени 3 по каждому из тпеременных имеет размерность 4^m. Иногда фиксируется суммарная степень многочлена n, тогда суммирование в (1) распространено на индексы, удовлетворяющие неравенству Тригонометрический действительный полином порядка n₁, . . ., п _т по переменным t₁, . . ., t_m может быть записан в виде

,

где комплексные коэффициенты с индексами противоположного знака комплексно сопряжены, а суммирование ведется по k_v, v=l, . . ., m, от -n_v до n_v. Этот полином можно также представить в виде линейной комбинации всевозможных произведений вида есть либо , либо . Широкое применение находят многомерные сплайны, "склеенные" до определенной гладкости из "кусков" алгебраич. многочленов тпеременных. В случае т=2 наиболее простой вид имеют сплайны, склеенные из многочленов по прямым, параллельным осям координат. В качестве аппарата приближения применяются также функции g(t₁ ,..., t_m), являющиеся полиномами или сплайнами лишь по нек-рым из переменных. Для приближения непериодич. функций, заданных на всем пространстве (или на неограниченном множестве из ), могут применяться целые функции экспоненциального типа, представимые в виде суммы абсолютно сходящегося степенного ряда

(2)

при условии, что для любого e>0 при всех комплексных t₁, t₂, ...,t_m

где константа M_e зависит только от e (см. [1]). Следует заметить, что в отличие от полиномов функция (2) определяется бесконечным числом параметров.

В многомерном случае справедлива теорема Вейерштрасса о возможности приблизить непрерывную на ограниченном замкнутом множестве функцию или непрерывную на всем пространстве с периодом 2p по каждому переменному функцию алгебраическими (соответственно тригонометрическими) полиномами с любой наперед заданной степенью точности. Аналогичный факт имеет место и в пространствах L_p (Q).и (в периодич. случае) . На линейные нормированные пространства функций тпеременных распространяются общие факты и теоремы о свойствах наилучшего приближения, о существовании, единственности и характеристич. свойствах функции наилучшего приближения, а также общие соотношения двойственности для приближения выпуклым множеством и, в частности, подпространством (см. [3], [4]). Однако получение конкретных реализаций этих теорем с учетом конкретной метрики и специфики приближающего подпространства в многомерном случае сопряжено с большими трудностями.

Более полно исследованы вопросы связи порядка убывания наилучших приближений функций многих переменных алгебраическими и тригонометрич. полиномами, а также целыми функциями с гладкостными свойствами приближаемой функции.

Пусть Q - произвольное открытое множество в (в частности, ), е - единичный вектор из , h>0 и Q_he- множество точек таких, что отрезок . Если , то величина

наз. модулем непрерывности функция f(t₁, . .., t_m).в метрике L_p(Q).по направлению е. Величину

наз. модулем непрерывности функции f в L_p(Q).

В периодич. случае для наилучших приближений тригонометрич. полиномами

функции , имеющей частные (вообще говоря, обобщенные по Соболеву) производные

(r_v0 - целые, ), справедливы оценки

(3)

где e_v - единичный вектор, направленный вдоль t_v, аконстанта Мне зависит от f и n_v. Для функции f из , имеющей обобщенные смешанные и несмешанные производные

(r=(r_l, . . ., r _т)).порядка r=r₁+. . .+r _т, имеют место неравенства

(4) Если

т. <е. если функции D^rf удовлетворяют Гёлъдера условию, то

(5)

В последнем случае обратная теорема утверждает, что если для функции при всех п=1,2, ... справедлива оценка (5), то существуют производные

, удовлетворяющие при любом неравенствам

(6) если 0<a<1, или

(7)

если a=1, где Кне зависит от длины |h|=(+...+)^1/2 вектора h=(h₁ ,. . ., h_m).

Теоремы, аналогичные приведенным, верны также для непериодич. функций , если в качестве аппарата приближения применяются целые функции экспоненциального типа. Приведенные результаты распространяются также на классы функций, гладкость к-рых описывается в терминах модулей непрерывности (модулей гладкости) более высокого порядка (см. [1]).

В случае приближения функций алгебраич. многочленами на ограниченном параллелепипеде (и нек-рых других ограниченных множествах) доказаны прямые теоремы, аналогичные (3), (4) и (5). Обращение этих теорем, как и для функций, заданных на конечном отрезке, возможно лишь на множестве Q₁, лежащем строго внутри Q. Известны обратные теоремы, предполагающие повышение порядка приближения вблизи границы множества Q(см. [13]), а также прямые теоремы, утверждающие возможность такого улучшения вблизи угловых точек (см. [14]). Необходимые и достаточные условия, обеспечивающие принадлежность функции f классу (определяемому в метрике С(Q).условиями, аналогичными условиям (6), (7)) за счет повышения порядка приближения вблизи границы (как в одномерном случае), неизвестны (1983). Однако имеет место следующий результат отрицательного характера (см.[13]). Пусть . Не существует ни одной определенной на Qпоследовательности функций

, обладающей следующими двумя свойствами:

1) для всякой функции f из найдется постоянная Ми последовательность многочленов

таких, что

(8)

2) из того, что для определенной на Qфункции f существуют постоянная М>0 и последовательность многочленов Р _п(t), удовлетворяющих неравенству (8), следует, что .

В качестве других примеров, отражающих специфику приближения функций многих переменных, можно привести следующие результаты.

Пусть - наилучшее приближение 2p-периодической функции f двух переменных тригонометрич. полиномами в метрике или , а - наилучшее приближение f в функциями , являющимися тригонометрич. полиномами порядка п ₁ по переменному t₁ коэффициенты к-рых суть функции от t₂. Аналогично определяются величины .

Если , то выполняются неравенства

где А _р зависит лишь от р.

Если же или , то

(9)

где А- абсолютная постоянная, и множитель In (2+min{n₁, n₂}) в неравенстве (9) нельзя заменить ни на какой другой, растущий при min{n₁, n₂} по порядку медленнее (см. [15]).

Принципиальные особенности возникают в задачах интерполирования функций многих переменных. Напр., существование алгебраического интерполяционного многочлена в отличие от одномерного случая существенно зависит от расположения узлов интерполяции. Разработаны, тем не менее, эффективные способы построения полиномов и сплайнов, интерполирующих функцию f(t₁, . . ., t_m).на определенным образом выбранной сетке узлов (см. Интерполирование), Для многомерных интерполяционных сплайнов в ряде случаев найдены порядковые оценки погрешности приближения как самой функции f, так и ее частных производных, более детально исследованы в этом направлении двумерные сплайны малого порядка, а также локальные (эрмитовы) сплайны любого порядка (см. [7], [10] - [12]). Среди других линейных методов приближения функций многих переменных сравнительно лучше исследованы кратные суммы Фурье и их различные средние. Здесь известны порядковые оценки приближения на классах функций, в нек-рых случаях найдена точная асимптотика (см. [5], [6], [8]). Лит.:[1] Никольский С. М., Приближение функций многих переменных и теоремы вложения, 2 изд., М., 1977; [2] Гутер Р. С., Кудрявцев Л. Д., Левитан Б. М., Элементы теории функций, М., 1963, с. 106-98; [3] Корнейчук Н. П., Экстремальные задачи теории-приближения, М., 1976; [4] Тихомиров В. М., Некоторые вопросы теории приближений, М., 1976; [5] Дзядык В. К., Введение в теорию равномерного приближения функций полиномами, М., 1977; [6] Тиман А. Ф., Теория приближения функций действительного переменного, М., 1960; [7] Стечкин С. Б., Субботин Ю. Н., Сплайны в вычислительной математике, М., 1976; [8] Степанец А. И., Равномерное приближение тригонометрическими полиномами. Линейные методы, К., 1981; (9] Лоран П. - Ж., Аппроксимация и оптимизация, пер. с франц., М., 1975; [10] Алберг Д да., Нильсон Э., Уолш Д ж., Теория сплайнов и ее приложения, пер. с англ., М., 1972; [11] Завьялов Ю. С., Квасов Б. И., Мирошниченко В. Л., Методы сплайн-функций, М., 1980; [12] Варга Р., Функциональный анализ и теория аппроксимации в численном анализе, пер. с англ., М., 1974; [13] Никольский С. М., "Сиб. матем. ж.", 1969, т. 10, № 5, с. 1075- 1083; [14] Брудный Ю. А., "Докл. АН СССР", 1970, т. 195, № 5, с. 1007-09; [15] Темляков В. Н., "Докл. АН СССР", 1975, т. 223, с. 1079-82. В. Н. Коновалов, Н. П. Корнейчук.